Sharp estimates of the energy for the solutions of some dissipative second order evolution equations

Abstract

We establish precise estimates of the energy decay for certain second order dissipative problems concentrating our attention on the effect of the nonlinearity on the constants depending on the initial data in such estimates. In general, when damping terms are superlinear such constants turn out to be superlinear functions of the initial energy. We consider nonlinear terms growing either polynomially or exponentially and apply our results to some concrete partial and ordinary differential equations. In certain particular cases, the optimality of the obtained estimates is also proved.

Résumé

On établit des estimations très précises de la décroissance de l'énergie pour des solutions des problèmes dissipatifs de second ordre, en veillant a élucider la façon dont le terme non linéaire agit sur les constantes dépendant des données initiales qui apparaissent dans ces estimations. En général, pour des terms de frottement a croissance surlinéaire, ces constantes sont aussi des fonctions surlinéaires de l'énergie initiale. Nous considérons des nonlinearités à croissance polynômiale ou exponentielle, en appliquant les resultats obtenus a plusieurs exemples d'équations différentielles ordinaires et équations aux dérivées partielles. Dans certains cas particuliers, on montre également l'optimalité des estimations établies.