Waves and stability

Abstract

The connection between stability of equilibrium and propagation of small disturbances through a general elastic medium has been stated, since 1903, by J. Hadamard. However a doubtful element in the original proof of the theorem was pointed out by P. Duhem. A more elaborated proof, which seems to be satisfactory even in a more general hypothesis, has been later proposed by the author of this report. That proof is reconsidered in this article which deals, in a general context, with the relations between wave propagation and linear stability. A new elegant proof of Hadamard's theorem, recently proposed by G. Fichera, is briefly reported at the end of the article.

Résumé

Les liens entre la stabilité de l'équilibre et la propagation des ondes dans un milieu élastique ont été codifiés dès 1903, par J. Hadamard. La démonstration originaire du théorème présente toutefois un point douteux, mis en évidence par P. Duhem. Une démonstration plus élaborée, qui parait mathématiquement corrècte même en des conditions physiques plus générales, a été proposée plus tard par l'auteur de cet exposé. Cette démonstration est reprise dans l'article suivant, qui envisage dans un contexte général les relations entre la propagation des ondes et la stabilité linéaire. Une nouvelle et élégante démonstration du théorème de Hadamard, proposée récemment par G. Fichera, est résumée à la fin de l'article.