Zusammenfassung
Die Mehrebenenanalyse steht im Mittelpunkt dieses Kapitels. In ihm wird geklärt, in welchen konkreten Fällen dieses zur statistischen Analyse hierarchischer Datenstrukturen entwickelte Verfahren gewinnbringend in den Sozialwissenschaften eingesetzt werden kann. Die präsentierten Beispiele aus den verschiedensten sozialwissenschaftlichen Teilbereichen zeugen dabei von der äußerst flexiblen Anwendbarkeit der Methode. Das Kapitel gibt zudem Hinweise darauf, auf was es bei der Modellierung zwischen Mikro- und Makro-Ebene zu achten gilt, wann Zentrieren sinnvoll ist, wie sich die Güte der Schätzung bestimmen lässt und welche Software sich für Mehrebenenanalysen anbietet.
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Notes
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Eine alternative Bezeichnung, die häufig anzutreffen ist, ist die Hierarchische Lineare Modellierung (HLM) .
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Ein Beispiel für mehr als zwei Ebenen liefern Dülmer und Ohr (2008), welche die Wahlabsicht für rechtsextremistische Parteien über die drei Ebenen der Befragten, der Landkreise und der Bundesländer betrachten.
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Aus theoretischer Perspektive sind solche kontextuellen Effekte nichts Unbekanntes. Lange Zeit beschränkten sich Analysen, insbesondere solche, die auf Umfragen gründen, jedoch darauf, individuelle Merkmale abzutesten. Das rief schon früh Kritiker wie Barton auf den Plan, eine rein individualistische Ausrichtung ohne Bezug auf das soziale Umfeld des Befragten bei diesen Arbeiten zu kritisieren: „But as usually practiced, using random sampling of individuals, the survey is a sociological meatgrinder, tearing the individual from his social context and guaranteeing that nobody in the study interacts with anyone else in it. It is a little like a biologist putting his experimental animals through a hamburger machine and looking at every hundredth cell though a microscope; anatomy and physiology get lost, structure and function disappear, and one is left with cell biology“ (Barton 1968, S. 1).
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Die Klassenebene wurde aus Gründen der Übersichtlichkeit hier weggelassen. Gleichwohl können multiple Mitgliedschaften wie auch cross-classified-Daten zwischen allen Ebenen des Modells vorkommen.
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Alternativ kann der IKK auch als Korrelation zweier zufällig ausgewählter Mikro-Einheiten innerhalb einer zufällig ausgewählten Gruppe gesehen werden. Je höher diese Intraklassenkorrelation, desto größer ist der Anteil der Gesamtvarianz, der auf die Unterschiede zwischen den Gruppen zurückzuführen ist. Bei Wenzelburger et al. (2014, S. 96) findet sich ein einfaches Beispiel, das die Logik des IKK anhand des arithmetischen Mittels erklärt.
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Dies sind die Abweichungen der Gruppenmittel vom Gesamtmittelwert. Für ihre Berechnung greift man auf ein Mehrebenenmodell zurück, bei dem außer der Gruppierungsvariable keine weiteren erklärenden Kovariate enthalten sind (Mehrebenen-Nullmodell ) und lässt sich die Residuen für die einzelnen Makro-Einheiten ausgeben. Aufgelistet oder geplottet können diese Gruppen-Residuen dabei helfen, diejenigen Gruppen zu identifizieren, für die ein signifikant höherer oder niedrigerer Wert geschätzt wird als im Mittel für alle Gruppen. Ist dies bei vielen Gruppen der Fall, ist eine MEA angebracht. Wenn die Residuen der Gruppen sich hingegen nicht sonderlich voneinander unterscheiden, ist eine normale Regression ausreichend.
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Die Teststatistik berechnet sich als: 2 \( (LL_{\rm Mehrebenen} \, - \,LL_{\rm Individual} ) \). Diesen empirischen Wert vergleicht man mit einem theoretischen Wert aus einer Chi-Quadrat-Tabelle. Man findet die gesuchte Zelle in der Chi-Quadrat-Tabelle anhand des gewünschten Vertrauenswahrscheinlichkeitsniveaus sowie der Anzahl der zwischen den beiden Modellen veränderten Parameter (= Anzahl der Freiheitsgrade). Dasjenige Modell, welches den vom Betrag her niedrigeren Log-Likelihood-Wert hat, kann bei signifikantem Testergebnis als das besser angepasste Modell gelten (Pötschke 2006, S. 173). In der Forschungspraxis lässt sich der Devianztest z. B. in Stata automatisch ausgeben, was den händischen Weg über die Chi-Quadrat-Tabelle unnötig macht.
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Der Betrag des Log-Likelihood-Wertes sinkt automatisch mit kleiner werdender Fallzahl. Aus diesem Grund gilt es bei der Aufnahme neuer Variablen darauf zu achten, dass diese nicht durch fehlende Werte die in die Regression eingehende Fallzahl reduzieren. Denn hierdurch würde fälschlicherweise eine Signifikanz beim Likelihood-Ratio-Chi-Quadrat-Test generiert. Man würde also annehmen, dass die aufgenommene Variable das Modell signifikant verbessert, in Wirklichkeit wäre es jedoch die geringere Fallzahl, die den Test signifikant werden ließ (Hadler 2004, S. 70). Um diese Problematik komplett zu vermeiden, kann über eine Filtervariable der Datensatz auf diejenigen Fälle begrenzt werden, für die keinerlei fehlende Werte in den aufzunehmenden Variablen vorliegen. Diese Strategie kann allerdings oftmals zu einer merklichen Reduzierung der Fallzahlen führen. Alternativ kann auch multiple Imputation angewendet werden. Hierbei gilt es allerdings darauf zu achten, dass sich die Mehrebenenstruktur auch in den Imputationsmodellen widerspiegelt. Aktuell sind Statistikpakete wie SPSS oder Stata hierzu nicht in der Lage. Das Center for Multilevel Modeling der Universität Bristol bietet allerdings mit Realcom Impute ein kostenloses Programm an, das multiple Imputation bei Mehrebenendaten durchführen kann (http://www.bristol.ac.uk/cmm/software/realcom/imputation.html). Daneben ist darauf zu achten, dass Modelle, die sich in ihren fixen Teilen (d. h. unabhängigen Variablen unterscheiden) mittels Devianztest nur sinnvoll zu vergleichen sind, sofern sie mit normaler Maximum Likelihood geschätzt wurden und nicht mittels Restricted Maximum Likelihood (REML ). Devianztests sind bei REML-Schätzungen nur erlaubt, sofern sich die Modelle ausschließlich in ihren Zufallskomponenten unterscheiden (Snijders und Bosker 2012, S. 97).
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Weniger relevant für die Robustheit der Ergebnisse ist die durchschnittliche Gruppengröße.
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Für einen Überblick über diese Daumenregeln siehe Braun et al. (2011).
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Laut Stegmueller stellt auch die REML Methode keine wirkliche Alternative dar. Sie generiert zwar im Fall von einfachen ME-Designs geringfügig bessere Konfidenzintervalle als die klassische MLE. Bei komplexeren Designs hingegen ergeben sich „quite drastic noncoverage problems“ (Stegmueller 2013, S. 751). Er empfiehlt vielmehr auf eine bayesianische Schätzung auszuweichen. Diese würde einerseits etwas weniger Bias bei den Punktschätzern generieren und v. a. deutlich passendere Konfidenzintervalle erzeugen. Diese wären zudem im Gegensatz zu den von der MLE erzeugten Konfidenzintervallen eher zu lang als zu kurz, weshalb man sagen kann, dass „researchers using Bayesian multilevel models put their hypotheses to more rigid tests than their colleagues relying on ML estimates !” (Stegmueller 2013, S. 759). Betrachtet man die Anzahl veröffentlichter MEAs, stellt die Bayesianische Modellierung allerdings noch die absolute Ausnahme dar, weshalb sie auch hier nicht weiter verfolgt wird. Einen Einstig in die Welt der Bayesianischen MEA bieten Hamaker und Klugkist (2011).
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Der Index i steht für ein Individuum in der Gruppe j.
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Der Artikel von Brambor et al. (2006) in der Zeitschrift Political Analysis kann als best practice guide für die Anwendung von Interaktionseffekten dienen. Daneben gibt es gute Einführungsbücher, die auch Hilfestellungen bei der praktischen Schätzung von Interaktionseffekten im Statistikprogramm enthalten (Urban und Mayerl 2011, S. 214–217–301; Wenzelburger et al. 2014, S. 39–54; Kohler und Kreuter 2012, S. 292–96).
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Sofern Kovarianzen zwischen den unabhängigen Variablen in dem Modell angenommen werden, lassen sich die R2-Werte nach Snijders und Bosker nicht mehr sinnvoll interpretieren. Pötschke (2006, S. 174) schlägt in diesen Fällen die Verwendung des Pseudo-R2 nach Maddala vor, welches grundsätzlich bei allen nach dem Maximum Likelihood Verfahren geschätzten Modellen berechnet werden kann: \( Maddala \,R^{2} \, = \,1\, - \,\exp \left( {\frac{{ - 2\log Likelihood_{M1} \, - \,\left( { - 2\log Likelihood_{M0} } \right)}}{n}} \right) \). Der sich ergebende Wert gibt an wie viel Prozent der Varianz die im Vergleich zum Nullmodell hinzugefügten Variablen erklären können, wobei diese Erklärungskraft sich sowohl auf „Varianzen der unabhängigen Variablen als auch […] Kovarianzen zwischen unabhängigen Variablen“ (Pötschke 2006, S. 174) beziehen kann.
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Dieses Vorgehen erscheint in diesem Fall insofern gerechtfertigt, als dass vermutlich die meisten der Reden von unterschiedlichen Politikern gehalten wurden. Gesetz dem Fall, dass nur sehr wenige Politiker sehr viele Reden gehalten hätten, wäre diese Disaggregation von individuellen Eigenschaften weniger Politiker auf viele Reden nicht zulässig.
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Da davon auszugehen ist, dass sich die Berichterstattung bezüglich eines Abgeordneten innerhalb einer Zeitung ähnelt und es gleichzeitig Unterschiede hierin zwischen den Zeitungen gibt, wäre es an dieser Stelle eventuell sinnvoll gewesen die Zeitung als weitere Ebene zwischen Artikel und Parlamentarier einzubeziehen. Hierdurch hätte eine künstliche Erhöhung der Fallzahl mit den oben geschilderten negativen Konsequenzen vermieden werden können.
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Für eine ausführlichere Diskussion der MEA als Ersatz für Time-Series-Cross-Section-Analysen siehe (Tiemann 2009). Bei Hox (2010) und Goldstein (2011) werden außerdem Anknüpfungspunkte der MEA zu anderen statistischen Techniken wir der Survival-Analyse , Faktoranalysen oder Strukturgleichungsmodellen aufgezeigt. Insbesondere die Kombination aus letzteren und MEAs in Form von Mehrebenenstrukturgleichungsmodellen bietet für den Forscher eine Reihe neuer Möglichkeiten. So erfassen diese Modelle nicht nur die Standardfehler in hierarchischen Datensets korrekt und ermöglichen den Test von Prädiktoren auf unterschiedlichen Ebenen, wie dies auch andere MEAs tun, sondern sie können auch mit dem Vorliegen von latenten Variablen umgehen, die auf Basis eines Sets an Items oder messfehleranfälligen Instrumenten bestimmt werden (Kline 2011, S. 586–587; Rabe-Hesketh et al. 2012, S. 512).
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In SPSS laufen MEAs über den Befehl MIXED, in Stata über die „xt-Familie“ xtreg und xtmixed (für metrische AV), xtlogit (für einfachere logistische MEAs), xtmelogit (für komplexere logistische MEAs) bzw. seit Stata Version 13 über die „Mixed Effects (me)-Familie“ (mixed, melogit u. a.) oder über die zumeist relativ langsame, aber sehr flexible gllamm-Routine. Zudem kann aus Stata direkt über runmlwin auf das auf MEAs spezialisierte Programm MLwiN zugegriffen werden. In R gibt es ebenfalls mehrere Pakete, mit denen sich MEAs schätzen lassen. Dazu zählen die Pakete nlme, lme4 und multilevel und merTools – wobei letzteres insbesondere für die anschauliche Darstellung von Ergebnissen aus MEAs geeignet ist.
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Eine große Rolle für die Frage der Rechenzeit spielt hierbei auch die Anzahl an Integrationspunkten . Je größer diese ist, desto genauer ist die Approximation der Likelihood und damit der Schätzer. Allerdings steigt die Rechenzeit proportional zum Produkt der Anzahl der Integrationspunkte für alle Random Effects an. Ein Modell mit drei Random Effects und acht Integrationspunkten bräuchte entsprechend etwa 8 * 8 * 8 = 512 mal länger als die einfache Laplace-Approximation , die nur einen Integrationspunkt verwendet und entsprechend ungenau ist. Dasselbe Modell mit vier Integrationspunkten würde nur 4 * 4 * 4 = 64 mal länger als die Laplace Approximation benötigen. Daneben steigt die Rechenzeit auch etwa proportional zur Anzahl an Observationen und (bei Programmen die mit numerischer Integration arbeiten) zum Quadrat der Anzahl an Regressionsparametern. Oftmals ist es deshalb sinnvoll vor dem eigentlichen Modell ein Testmodell mit weniger Parametern und Integrationspunkten zu rechnen, um abschätzen zu können, wie lange ein volles Modell in etwa bräuchte (Rabe-Hesketh und Skrondal 2012b, S. 541).
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Jäckle, S., Schärdel, J. (2017). Mehrebenenanalyse. In: Jäckle, S. (eds) Neue Trends in den Sozialwissenschaften. Springer VS, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-17189-6_6
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