Zusammenfassung
Die quadratische Gleichung x2 + 1 = 0 hat im Körper ℝ der reellen Zahlen keine Lösung, da jede Quadratsumme r2 + 1, r ∈ ℝ, positiv ist. Eine bahnbrechende Erkenntnis der Mathematik der Neuzeit war, daß sich diese Unvollkommenheit der reellen Zahlen durch eine einfache nochmalige Erweiterung des Zahlenbereiches zum Körper C der komplexen Zahlen beheben läßt.
Ex irrationalibus oriuntur quantitates impossibiles seu imaginariae, quarum mira est natura, et tarnen non contemnenda utilitas (G. W. Leibniz).
Der Stiftung Volkswagenwerk danke ich für die Bereitstellung eines Akademie-Stipendiums im Wintersemester 1980/81; dadurch wurden die Arbeiten an den Kapiteln 3, 4 und 5 dieses Buches ganz wesentlich gefördert.
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Literatur
Heute weiß man, daß es grundsätzlich unmöglich ist, eine über \( \mathbb{Q} \) irreduzible kubische Gleichung, deren drei Wurzeln alle reell sind, durch reelle Radikale zu lösen (sogenannter Casus irreducibilis). Näheres hierzu vgl. van der Waerden, Algebra, Erster Teil; Springer-Verlag Berlin-Heidelberg- New York, 7. Auflage 1966, S. 194.
Der eigentliche Gründer dieser nach dem Vorbild des „Journal des Savants“gegründeten Zeitschrift war O. Mencke. Die Acta Eruditorum stellten 1782 ihr Erscheinen ein.
Cauchy versucht auch zu erklären, was ein symbolischer Ausdruck ist. Er sagt (S. 153): „En analyse, on appelle expression symbolique ou symbole toute combinaison de signes algébriques qui ne signifie rien par elle-même ou à laquelle on attribue une valeur différente de celle qu’elle doit naturellement avoir.“Diese wunderliche Definition nennt Hankel 1867 in seinem Buch „Theorie der complexen Zahlensysteme“, wo er selbst mit der Metaphysik mathematischer Grundbegriffe ringt, ein Gaukelspiel und (S. 73) einen Galimatias (sinnloses, verworrenes Gerede; Deutung unsicher: wahrscheinlich „Wissen eines Gallus“zu nlat. „galli“, einer Bezeichnung für bestimmte Disputanten an der Sorbonne, und griech.,,-mátheia“[= das Erlernen]; Quelle: Meyers Enz. Lexik. 1973); er schreibt aggressiv (S. 14): „Ich glaube nicht zu viel zu sagen, wenn ich dies ein unerhörtes Spiel mit Worten nenne, das der Mathematik, die auf die Klarheit und Evidenz ihrer Begriffe stolz ist und stolz sein soll, schlecht ansteht.“
Der merkwürdige Titel ist durch Kant verursacht. Reelle Zahlen wurden damals üblicherweise als Verhältnisse von Strecken zu einer festgelegten Einheitsstrecke definiert. Nun hatte aber Kant gesagt, daß Geometrie zum Raum und Arithmetik, also Zahlen, zur Zeit gehöre. Deshalb erklärt Hamilton unter Berufung auf Kant Zahlen als Verhältnisse von Zeitintervallen. Mathematisch ist damit natürlich nichts gewonnen; interessant ist aber, daß er (lange vor Weierstrass und in Unkenntnis von Bolzano) versucht, reelle Zahlen neu zu erklären.
Das Adjektiv „komplex“ist erst seit Gauss (1831) ein fester terminus technicus; bis dahin hatte auch er das Wort „imaginär“gebraucht. 1773 hat Bézout in seinem in Paris publizierten „Cours de mathématiques à l’usage des gardes du pavillon et de la marine. I. Partie. Éléments d’arithmétique“auf S. 105f. den Ausdruck „komplexe Zahl“als Bezeichnung für benannte Zahlen benutzt, in denen verschiedene Maßeinheiten vorkommen, z. B. Tage, Stunden, Minuten.
Die Bezeichnung „konjugiert“(conjugué) wurde 1821 von Cauchy im „Cours d’Analyse“eingeführt.
K. Weierstrass verwendet in seinen Vorlesungen die Bezeichnung „absoluter Betrag“; vorher war die Redeweise „Modulus“gebräuchlich.
François Vièta (1540–1603, Paris; Staatsbeamter). Er führte die Buchstabenrechnung ein: Vokale für unbekannte, Konsonanten für bekannte Größen.
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Remmert, R. (1988). Komplexe Zahlen. In: Zahlen. Grundwissen Mathematik, vol 1. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-97122-8_4
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