Funktionen- und Relationenalgebren mit speziellen Eigenschaften

Zusammenfassung

Auf die Bedeutung des Finiten wurde schon in der Einleitung hingewiesen. In unseren Betrachtungen hatten wir es auch stets mit endlichen Mengen A zu tun. Dagegen sind Funktionenalgebren F ⪳ P _A unendliche Mengen. Für die Konstruktion von Funktionen (und Relationen) nach dem Baukastenprinzip (vgl. Einleitung) müssen wir unser Augenmerk auf die endlich erzeugbaren oder — aus der Sicht der invarianten Relationen — auf die prädikativ beschreibbaren Funktionenalgebren richten (1.1.21). Eine sukzessive Beschreibung der von einer endlichen Menge X ⫅ P _A (bzw. X ⫅ R _A ) erzeugten Funktionen- (bzw. Relationen-) Algebren ist dann gemäß 1.1.4 bzw. 1.1.10 möglich. Wie sich — von einem gegebenen Erzeugendensystem X ausgehend — alle n-stelligen Funktionen (bzw. Relationen) aus 〈X〉 _A konstruieren lassen, werden wir in Abschnitt 4.2 sehen. Jetzt wollen wir als erstes ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die endliche Erzeugbarkeit von Funktionenalgebren angeben (4.1.3). Zur Vorbereitung benötigen wir einen Satz aus der Allgemeinen Algebra (4.1.1) und eine spezifische Eigenschaft (4.1.2) endlich erzeugbarer Funktionen- bzw. Relationenalgebren.