Résumé
Résumé. Nous décrivons dans cet article deux algorithmes qui construisent les décompositions irréductible et équidimensionnelle d’une variété algébrique affine (ou projective), définie par un ensemble fini de polynômes. Le premier calcule les composantes irréductibles, donc dépend d’un algorithme de factorisation, et en conséquence ne peut se paralléliser que partiellement, du moins à notre connaissance. Le second correspond aux composantes équidimensionelles, et est susceptible d’une parallélisation totale. Comme applications, le lecteur trouvera en appendice un calcul de la forme de Chow d’une variété projective quelconque, dû à T. Krick et P. Solerno, et un calcul du degré d’une variété affine.
Ces algorithmes sont décrits par des réseaux arithmétiques, ce qui permet un déroulement séquentiel ou parallèle (avec la restriction concernant la factorisation). En séquentiel, leurs complexités admettent une borne supérieure simplement exponentielle en la taille des polynômes d’entrée (quantité, degré, nombre de variables et éventuellement taille arithmétique). En parallèle, la complexité du deuxième algorithme devient polynomiale en cette taille.
Avec un soutien du GDR G0060 “Calcul Formel, Algorithmes, Langages et Systèmes” et du PRC “Mathématiques et Informatique”.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
References
D. Bayer, M. Stillman, A theorem on refining division orders by the reverse lexicographic order, Lecture Notes for the meeting on Algebraic Geometry and Computing, 1985, Trento, Italy.
S. J. Berkowitz, On computing the determinant in small parallel time using a small number of processors, Information Processing Letters 18 (1984), 147–150.
W. S. Brown, On Euclid’s algorithm and the computation of polynomial greatest common divisors, J. ACM 18 (1971), 478–504.
D. Brownawell, Bounds for the degree in the Nullstellensatz, Ann. Math. 126 (1987), 577–591.
L. Caniglia, Complejidad de algoritmos en geometria computational, Thèse, Universidad de Buenos Aires 1989.
L. Caniglia, How to compute the Chow form of an unmixed polynomial ideal in simple exponential time, (submitted), Applicable Algebra in Engeneering Communication and Computer Science (1989).
L. Caniglia, A. Galligo, J. Heintz, Borne simple exponentielle pour les degrés dans le théorème des zéros sur un corps de caractéristique quelconque, C. R. A. S. Paris 307 (1988), 255–258.
L. Caniglia, A. Galligo, J. Heintz, Some new effectivity bounds in computational geometry, in “Proc. AAECC 6,” Springer LNCS 357, 1989, pp. 131–151.
L. Caniglia, A. Galligo, J. Heintz, Equations for the projective closure of an affine algebraic variety, Discrete Appl. Math. Proc. AAECC-7, Toulouse (1989). (to appear)
L. Caniglia, J. A. Guccione, J. J. Guccione, Local membership problems for polynomial ideals, in “Proc. MEGA 90,” 1990.
A. L. Chistov, D. Yu. Grigoriev, Subexponential-time solving systems of algebraic equations I, II, Steklov Mathematical Institute, Lenigrad department, LOMI Preprints E-9-83, 0E-10-c83 (1983).
A. Dickenstein, N. Fitchas, M. Giusti, C. Sessa, The membership problem for unmixed polynomial ideals is solvable in subexponential time,Discrete Appl. Math. Proc. AAECC-7, Toulouse (1989). (to appear)
N. Fitchas, A. Galligo, Nullstellensatz effectif et conjecture de Serre (Théorème de Quillen-Suslin) pour le calcul formel, Math. Nachrichten (1988). (à paraître)
Noaï Fitchas, A. Galligo, J. Morgenstern, Algorithmes rapides en séquentiel et parallèle pour l’élimination des quantificateurs en géométrie élémentaire, in “Séminaire Structures Algébriques Ordonnées 1986-87,” Université Paris VII, 1987. (à paraître)
Noaï Fitchas, A. Galligo, J. Morgenstern, Precise sequential and parallel complexity bounds for quantifier elimination over algebraically closed fields, Journal of Pure and Applied Algebra (1987). (to appear)
J. Von zur Gathen, Parallel arithmetic computations: a survey, in “Proc. 13th Symp. MFCS 1986,” Springer Lecture Notes in Computer Science 233, 1986, pp. 93–112.
P. Gianni, B. Trager, G. Zacharias, Gröbner bases and primary decomposition of polynomial ideals, J. Symbolic Computation 6 Computational aspects of commutative algebra (1988), 249–265.
M. Giusti, Combinatorial Dimension Theory of Algebraic Varieties, J. Symbolic Computation 6 Computational aspects of commutative algebra (1988), 249–265.
M. Giusti, Complexity of standard bases in projective dimension zero, in “Proceedings of EUROCAL 87,” (European Conference on Computer Algebra, Leipzig, RDA), Lecture Notes in Computer Science 378, Springer Verlag, 1989, pp. 333–335.
M. Giusti, Complexity of standard bases in projective dimension zero II, in “Proceedings of AAECC,” Tokyo, 1990. (to appear)
J. Heintz, Definability and fast quantifier elimination over algebraically closed fields, Theoretical Computer Science 24 (1985), 239–277. Russian translation in Kyberneticeskij Sbornik, Novaja Serija, Mir Moscow 22, pp. 113-158
J. Heintz, C.P. Schnorr, Testing polynomials which are easy to compute, in “Proc. 12th Annual Symposium ACM on computing,” 1980, pp. 262–272. also in: “Logic and Algorithmic. An international Symposium held in honour of Ernst Specker” Monographie 30 de l’Enseignement Mathématique, Genève 1982, pp. 237-
G. Hermann, Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polinomideale, Math. Ann. 95 (1926), 736–788.
P. Hintenhaus, Decomposing and Parameterizing the Solution Set of an Algebraic System, Ph. D. Thesis, preprint RISC-Linz 89-27.
T. Krick, Complejidad para problemas de geometriá elemental, Thèse, Universidad de Buenos Aires 1990.
T. Krick, A. Logar, Membership problems, representation problems and the computation of the radical for one-dimensional ideals, in “Proceedings MEGA-90,” (these proceedings), 1990.
T. Krick, P. Solernó, Calcul effectif du polynôme de Chow d’un idéal homogène ensemblistement équidimensionnel, Prépublication, Buenos Aires 1989.
D. Lazard, Algèbre linéaire sur K[x 1,…, x n]_et élimination, Bull. Soc. Math. France 105 (1977), 165–190.
A. Logar, A computational proof of the Noether normalization lemma, in “Proc. AAECC 6,” (Roma), Springer LNCS 357, 1988, pp. 259–273.
Y. V. Nesterenko, Estimates for the order of zeroes of functions of a cerain class and applications in the theory of transcendantal numbers, Izvestija Akad. Nauk. SSR 41 (1977). Translation in: Math. USSR Izvestija 11
P. Robert, “Dictionnaire alphabétique et analogique de la langue française,” Société du nouveau Littré, Paris, 1970.
A. Seidenberg, Constructions in algebra, Trans. Amer. Math. Soc. 197 (1974), 273–313.
I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Nauka, Moscow. English version: Springer, Berlin 1974
B. Teissier, Résultats récents d’algèbre commutative effective, in “Séminaire Bourbaki,” 42ième année, 718, 1989.
P. Robert, “Dictionnaire alphabétique et analogique de la langue française,” Société du nouveau Littré, Paris, 1970.
A. Seidenberg, Constructions in algebra, Trans. Amer. Math. Soc. 197 (1974), 273–313.
I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Nauka, Moscow. English version: Springer, Berlin 1974
B. Teissier, Résultats récents d’algèbre commutative effective, in “Séminaire Bourbaki,” 42ième année, 718, 1989.
Author information
Authors and Affiliations
Editor information
Editors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 1991 Springer Science+Business Media New York
About this chapter
Cite this chapter
Giusti, M., Heintz, J. (1991). Algorithmes – disons rapides – pour la décomposition d’une variété algébrique en composantes irréductibles et équidimensionnelles. In: Mora, T., Traverso, C. (eds) Effective Methods in Algebraic Geometry. Progress in Mathematics, vol 94. Birkhäuser, Boston, MA. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0441-1_11
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0441-1_11
Publisher Name: Birkhäuser, Boston, MA
Print ISBN: 978-1-4612-6761-4
Online ISBN: 978-1-4612-0441-1
eBook Packages: Springer Book Archive