Zusammenfassung
Die zweite Hälfte des 16. Jahrhunderts ist durch einen raschen und deutlichen Aufschwung der Mathematik gekennzeichnet. Ungefähr zu dieser Zeit kam die Entwicklung der modernen Disziplin Mathematik in vollen Gang. Die Wissenschaftler suchten und sicherten den Fortschritt an vielen Fronten, und dieser Prozess hält bis auf den heutigen Tag an. Neben dem allgemeinen Gebrauch der Dezimalzahlen stammen aus dieser Zeit auch die ersten Ansätze zur Verwendung von Logarithmen durch Scot John Napier (1550–1617). Hierbei handelt es sich um ein praktisches Hilfsmittel, das noch bis vor 25 Jahren in den Wissenschaften in Gebrauch war. Logarithmen nutzen die Potenzgesetze, um komplizierte Multiplikationen und Divisionen in einfachere Additionen und Subtraktionen umzuwandeln, und der Rechenschieber setzt dies physikalisch um. Heute erscheinen sie wunderlich und überholt, doch im 17. Jahrhundert halfen Logarithmentafeln den Astronomen, die Umlaufbahn des Mondes zu berechnen, und im Jahr 1969 ermöglichten sie es sogar einem Menschen, auf dem Mond herumzulaufen.
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Notes
- 1.
Die Logarithmen von Napier bezogen sich nicht auf die Basis 10, die schließlich zum Standard wurde, sondern sie entsprachen in ihrer Art eher dem natürlichen Logarithmus zur Basis \(e\). Die Einführung von Logarithmen zur Basis 10 entstand zusammen mit Henry Briggs aus Oxford, der im Jahre 1617 die erste gewöhnliche Logarithmentafel, wie sie später genannt wurde, erstellte. Ein weiteres einfaches Verfahren zur Umwandlung von Multiplikation in Addition beruht auf der zweiten binomischen Formel \({}^{*}\).
- 2.
Natürlich kann man den Mystizismus in der Mathematik als eine vollkommene Zeitverschwendung oder sogar noch Schlimmeres verdammen. Einige herausragende Mathematiker behaupten jedoch, aufgrund von Träumereien über das Übernatürliche auf ihre Entdeckungen gestoßen zu sein: Zwei bekannte Beispiele sind die Lösung der Einstein'schen Gleichungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie von Kurt Gödel sowie die erstaunlichen Arbeiten von Alan Turing über künstliche Intelligenz.
- 3.
Die genauen historischen Abläufe sind allerdings weitaus komplizierter: Im Jahr 1806 veröffentlichte J. R. Argand eine Abhandlung zur grafischen Darstellung von komplexen Zahlen, und wenn die Ebene als Heimat der komplexen Zahlen angesehen wird, bezeichnet man sie oft als Argand-Ebene. Trotzdem wurden sowohl die Arbeiten von Wessel als auch die von Argand größtenteils ignoriert, bis die führenden Mathematiker Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) und Carl Friedrich Gauß (1777–1855) sie einige Jahre später bekannt machten. Girard hatte bereits die Idee der eindimensionalen Zahlenlinie eingeführt, und der englische Mathematiker John Wallis hatte bereits im 17. Jahrhundert vorgeschlagen, die rein imaginären Zahlen durch eine Linie senkrecht auf der Achse der reellen Zahlen darzustellen.
- 4.
Diese Art, die reellen Zahlen zu betrachten, erscheint zwar natürlich, hat aber auch ihre Nachteile. Eine konsistente Formulierung des reellen Zahlensystems erfolgte erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts durch J. W. Dedekind (1831–1916). Der sogenannte Dedekind'sche Schnitt (der später von Bertrand Russell vereinfacht wurde) löste den scheinbaren Widerspruch auf, wonach die reelle Zahlengerade zwar aus Zahlen besteht, die als diskrete Entitäten aufzufassen sind, aber trotzdem ein Kontinuum bildet.
- 5.
Die Schreibweise in Form von Brüchen stammt von den Griechen. Zunächst schrieben sie den Nenner oben, später dann in der modernen Form, allerdings noch ohne den Querstrich. Die Vorliebe für Stammbrüche hielt in Europa allerdings bis weit ins zweite Jahrtausend an.
- 6.
William Rowan Hamilton stellte zum ersten Mal in einem Artikel an die Irische Akademie im Jahre 1833 die Multiplikation von komplexen Zahlen explizit in dieser Form dar. \({}^{*}\)
- 7.
Issac Newton (1642–1727) beschrieb acht verschiedene Koordinatensysteme zur Darstellung von Punkten in einer Ebene. Das siebte dieser Systeme waren die Polarkoordinaten.
- 8.
In der Fachterminologie spricht man allerdings von dem Argument von \(z\).
- 9.
Allgemein werden Winkel in diesem Fall nicht in Grad gemessen, sondern in der natürlichen mathematischen Einheit des Radianten, bei dem ein Vollkreis dem Wert \(2\pi\) entspricht. Der Winkel zu einem Radianten entspricht dem Winkel, unter dem man vom Ursprung aus eine bestimmte Länge entlang des Umfangs eines Einheitskreises sieht. Der Winkel zum Radianten 1 beträgt etwas mehr als \(57^{\circ}\).
- 10.
Die genaue Form dieser Korrespondenz wird durch die sogenannte Osborne'sche Regel zum Ausdruck gebracht. \({}^{*}\)
- 11.
Diese Beziehung war auch anderen bekannt, unter anderem Jean Bernoulli (1667–1748).
- 12.
Die Zahl \(n\) lässt sich genau dann als Summe von drei Quadratzahlen schreiben, wenn sie nicht von der Form \(4^{e}(8k+7)\) ist; zum Beispiel ist 7 keine Summe von drei Quadratzahlen.\({}^{*}\)
- 13.
Solche Versuche der Verallgemeinerung sind keinesfalls nutzlos: Beispielsweise wurden auf diese Weise die sogenannten Clifford-Algebren gefunden, die in der Elementarteilchenphysik eine wichtige Rolle spielen.
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Higgins, P.M. (2013). Vom Imaginären zum Komplexen. In: Das kleine Buch der Zahlen. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-8274-3016-8_10
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-8274-3016-8_10
Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-8274-3016-8
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