Von heißen Körpern zur Quantenphysik: Das Licht als Teilchen

Zusammenfassung

Dieses Kapitel beschreibt die Grundzüge der Optik jenseits der Strahlen- und Wellenoptik. Hierbei werden die physikalischen Hintergründe planckscher Strahler und Anwendungsgebiete, wie Wärmebildkameras und Herdplatten besprochen. Außerdem wird ein Ausblick auf die Quantenoptik gegeben, und wo sich diese schon heute in unserem Alltag wiederfindet. Die Aufgaben runden diesen Einblick schließlich ab.

Appendices

Aufgaben

7.1.1 7.1 Plancksches Strahlungsgesetz

• a)
  $$\begin{aligned} U(\lambda , T)=\frac{c_1}{\lambda ^5}\frac{1}{\exp {\left( \frac{c_2}{\lambda T}\right) }} \end{aligned}$$

  (7.11)

  Das hier gezeigte Wiensche Strahlungsgesetz war einer der Vorläufer des Planckschen Strahlungsgesetzes, gültig nur für kleine Wellenlängen $\lambda \rightarrow 0$. Leite es unter dieser Bedingung aus dem Planckschen Strahlungsgesetz her. Stelle die Strahlungskonstanten $c_1$ und $c_2$ durch bekannte Variablen dar.

• b)
  $$\begin{aligned} U(\lambda , T)=\frac{8\pi k_\text {B} T}{\lambda ^4} \end{aligned}$$

  (7.12)

  Das hier gezeigte Rayleigh-Jeans-Gesetz war der andere Vorläufer des Planckschen Strahlungsgesetzes, gültig nur für große Wellenlängen $\lambda \rightarrow \infty$. Leite es unter dieser Bedingung aus dem Planckschen Strahlungsgesetz her.

7.1.2 7.2 Photoeffekt

Licht der Wellenlänge $\lambda =450\,\mathrm {nm}$ trifft auf Cäsium (Austrittsarbeit $W_\text {A}=2{,}14\,\mathrm {eV}$). Berechne die kinetische Energie der herausgelösten Elektronen.

Lösungen

7.1.1 7.1 Plancksches Strahlungsgesetz

Bei Rayleigh:

Das Plancksche Strahlungsgesetz lautet gemäß Gl. 7.5

$$ U(\lambda , T)=\frac{4hc}{\lambda ^5}\frac{2\pi }{\exp {\left( \frac{hc}{\lambda k_\text {B} T}\right) }-1}. $$

• a) Für kleine Wellenlängen $\lambda \rightarrow 0$ wird der Term $\dfrac{hc}{\lambda k_\text {B} T}$ in der e-Funktion sehr groß. Dadurch kann das $-1$ vernachlässigt werden und wir erhalten

  $$ U(\lambda , T)=\frac{4hc}{\lambda ^5}\frac{2\pi }{\exp {\left( \frac{hc}{\lambda k_\text {B} T}\right) }}= =\frac{c_1}{\lambda ^5}\frac{1}{\exp {\left( \frac{c_2}{\lambda T}\right) }} $$

  mit $c_1=8\pi h c$ und $c_2=\dfrac{hc}{k_\text {B}}$.

• b) Dafür müssen wir die e-Funktion zunächst umschreiben über die Taylor-Reihe

  $$ \exp (A) =\sum _{\text {n}=0}^{\infty }\frac{A^n}{n!}=1+A+\frac{A^2}{2}+\ldots $$

  zu

  $$ \exp \left( \frac{hc}{\lambda k_\text {B} T}\right) =\sum _{\text {n}=0}^{\infty }\dfrac{\left( \dfrac{hc}{\lambda k_\text {B} T}\right) ^n}{n!}=1+\dfrac{hc}{\lambda k_\text {B} T}+\dfrac{\left( \dfrac{hc}{\lambda k_\text {B} T}\right) ^2}{2}+\ldots $$

  Für große Wellenlängen $\lambda \rightarrow \infty$ wird der Term $\dfrac{hc}{\lambda k_\text {B} T}$ sehr klein, dadurch werden die höheren Ordnungen $n \ge 2$ vernachlässigbar klein und wir erhalten

  $$ \exp \left( \frac{hc}{\lambda k_\text {B} T}\right) \approx 1+\dfrac{hc}{\lambda k_\text {B} T}. $$

  Dadurch ergibt sich

  $$ U(\lambda , T)=\frac{4hc}{\lambda ^5}\frac{2\pi }{1+\frac{hc}{\lambda k_\text {B} T}-1}=\frac{8\pi k_\text {B} T}{\lambda ^4}. $$

  Dies gilt, wie erwähnt, nur für große Wellenlängen. Für sehr kleine $\lambda \rightarrow 0$ sagt das Rayleigh-Jeans-Gesetz fälschlicherweise immer höhere Energiedichten vorher, bis hin zu unendlich hoher Energie. Dies macht physikalisch keinen Sinn und wurde historisch als Ultraviolett-Katastrophe bezeichnet, da die klassische Physik hier an ihre Grenzen stieß. Durch die Einführung der Quantentheorie gelang es schließlich Max Planck, dieses Problem zu eliminieren. Er ging genau den uns entgegengesetzten Weg und verknüpfte die beiden hier gezeigten Gesetze zu seinem bis heute gültigen Strahlungsgesetz.

7.1.2 7.2 Photoeffekt

Über Gl. 7.6 und 7.8 ergibt sich

$$\begin{aligned} E_\text {kin}&=E_\text {Photon}-W_\text {A} = \frac{hc}{\lambda }-W_\text {A} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}\,\mathrm {Js}\cdot 3{,}00\cdot 10^{8}\,\frac{\mathrm {m}}{\mathrm {s}} }{450\,\mathrm {nm}}-2{,}14\,\mathrm {eV}\\&=9{,}96\cdot 10^{-20}\,\mathrm {J}=0{,}62\,\mathrm {eV}. \end{aligned}$$

Achte bei der Berechnung auf die unterschiedlichen Einheiten $\mathrm {m}$ und $\mathrm {nm}$ sowie $\mathrm {J}$ und $\mathrm {eV}$.