Abstract
In this paper, we argue that Bourbaki’s historiography, which has been extremely influential among mathematicians and historians of mathematics alike, reflected the special conditions of its elaboration. More specifically, we investigate the way in which the collective writing practices of the members of the Bourbaki group in both mathematics and the history of mathematics help to explain the particular form taken by the Elements of the History of Mathematics (1960). At first sight, this book, which has been seen as an “internalist history of concepts,” may seem an unlikely candidate for exhibiting collective aspects of mathematical practice. As we show, historical considerations indeed stood low on the group’s agenda, but they nevertheless were crucial in the conception of some parts of the mathematical treatise. We moreover claim that tensions between individuals and notions related to a collective understanding of mathematics, such as “Zeitgeist” and “mathematical schools,” in fact structured Bourbaki’s historiography.
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Notes
- 1.
“Les difficultés qui surgissent à chaque instant dans la chronologie lorsque l’on admet l’existence physique d’un seul Euclide s’atténuent sans disparaître lorsque l’on accepte de prendre son nom comme le titre collectif d’une école mathématique.” (Itard 1962, 11). Unless when taken from a published translation, all translations are our own.
- 2.
- 3.
Note that following conventions established by Liliane Beaulieu, we will refer to members of the group as Bourbakis and their followers as Bourbakists (Beaulieu 1989).
- 4.
For a recent examination of the polycephalic Euclid hypothesis, see the corresponding article in the MacTutor History of Mathematics archive (http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid.html, last viewed on March 16, 2013). Three possibilities are listed for Euclid : individual author, team leader, or mere pen name (“The ‘complete works of Euclid’ were written by a team of mathematicians at Alexandria who took the name Euclid from the historical character Euclid of Megara who had lived about 100 years earlier”).
- 5.
This is made especially clear in Beaulieu’s analysis of a poem written by some member of the Bourbaki collective (Beaulieu 1998, 112).
- 6.
Jean Dieudonné and André Weil are the most prolific authors in that field. Let us just mention here that Dieudonné has written histories of functional analysis (Dieudonné 1981), algebraic and differential topology (Dieudonné 1989) and directed a collective volume (Dieudonné 1978), and that Weil has written a history of number theory (Weil 1984) and expressed his ideas about the way history of mathematics should be practiced and written (Weil 1980), see the contribution by Schneider in this volume. About the way Weil used historical mathematical texts, see Goldstein (2010).
- 7.
“La formule de collaboration que nous avons adoptée est nouvelle; nous ne nous sommes pas bornés à partager le sujet en tranches et à nous distribuer la rédaction de ces diverses parties; au contraire, chaque chapitre après avoir été longuement discuté et préparé, est confié à l’un d’entre nous; la rédaction ainsi obtenue est vue par tous, elle est à nouveau discutée en détails, elle est toujours reprise au moins une fois, et quelques-fois plusieurs. Nous poursuivons ainsi une oeuvre véritablement collective, qui présentera un profond caractère d’unité.” Mandelbrojt to Mme Mineur , Borel , and Perrin (1936); repr. in “Journal de Bourbaki No. 6; 27/11/1936,” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/70. All were last accessed on September 27, 2016.
- 8.
- 9.
“Il y a une mathématique, une et indivisible: voilà la raison d’être du présent traité, qui prétend en exposer les éléments à la lumière de ving-cinq siècles.” “Introduction au Livre I (état 3) [ou état 2]” (n.d.), p. 1. Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/563.
- 10.
On Hadamard’s seminar, see [Beaulieu, 1989, 60–65] and [Chabert and Gilain, ming].
- 11.
“Outre, les résultats scientifiques améliorés, éclaircis ou établis, outre, les contacts personnels durables qui en résulteront, cette manifestation scientifique a montré qu’il était possible de travailler très utilement sur un sujet bien délicité entre un petit nombre de personnes qualifiées. La forme matérielle in augurée en cette occasion s’est montrée aussi utile qu’agréable et il y a lieu d’insister sur l’honneur qui rejaillit sur l’Université de Nancy, du fait qu’elle ait été choisie comme théâtre de la première réunion de cette nature.” Archives départementales de Meurthe-et-Moselle, Nancy, W 1018/96, Rapport sur le colloque.
- 12.
The editions and reviews are listed in Beaulieu (1989), Annexe II B, Annexe III B] from 1960 to 1986. Some of the reviews will be quoted here.
- 13.
The list of all published volumes can be found in Beaulieu (1989, Annexe II). See also http://archives-bourbaki.ahp-numerique.fr/publications.
- 14.
We quote here from the published translation, to be found in every volume of the Elements of Mathematics. A draft can be found in “Bourbaki—Mode d’emploi de ce traité,” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/438. In this document, the original text is: “Le traité prend les mathématiques à leur début, et donne des démonstrations complètes. Sa lecture ne suppose donc en principle, chez le lecteur, aucune connaissance mathématique particulière, mais seulement une certaine habitude du raisonnement mathématique, et un certain pouvoir d’abstraction.”
- 15.
The original text is a bit more specific and keeps the same content, viz. “Bourbaki—Mode d’emploi de ce traité,” p. 5. Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/438: “Le texte étant consacré, en principe, à l’exposé dogmatique d’une théorie, on n’y trouvera qu’exceptionnellement des références bibliographiques; les références seront regroupées dans un exposé historique, placé le plus souvent à la fin de chaque chapitre et où l’on trouvera, le cas échéant, des indications sur les problèmes non résolus de la théorie. On se bornera à donner les références aux livres et mémoires originaux dont l’étude peut être le plus profitable au lecteur. Les références qui servent seulement à fixer des points de priorités sont presque toujours omises; à plus forte raison, le lecteur ne doit pas s’attendre à trouver ici de bibliographie complète des sujets traités.”
- 16.
This talk was delivered in Düsseldorf on January 8, 1958 at the 76th Meeting of the Arbeitsgemeinschaft für Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen.
- 17.
“La discussion devient confuse—historique et philosophique.” Jean Delsarte, “Réunion du 10/12/1934,” p. 3. Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/1.
- 18.
“Desiderata,” p. 5. Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/27. An example of such a dictionary for topology is discussed in “Compte rendu du Congrès de Nancy (9–13 avril 1948),” p. 5. Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/93.
- 19.
“Décisions Escorial (typographie et rédaction),” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/36.
- 20.
“Les termes scurrile et futile ainsi que leurs superlatifs, dont la nécessité est mise hors de doute par les remarques de Cartan , sont adjoints au vocabulaire mathématique.” “Brève histoire des travaux de Bourbaki,” p. 3. Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/19.
- 21.
“L’objet d’une théorie mathématique est une structure organisant un ensemble d’éléments: les mots ‘structure’, ‘ensemble’, ‘éléments’ n’étant pas susceptibles de définition mais constituant des notions premières communes à tous les mathématiciens, ils s’éclaireront d’eux-mêmes dès qu’on aura eu l’occasion de définir des structures, comme il va être fait dès ce chapitre même.” “Ensembles—Décisions Escoriales [sic],” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/29.
- 22.
“Topologia Bourbachica,” p. 4. Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/492.
- 23.
“Intégration escoriale,” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/33.
- 24.
“Journal de Bourbaki No. 9; 16/03/1937,” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/73.
- 25.
André Weil, “Topologie 1 (Weil) (Exemplaire archétype) Plan général de topologie,” p. 12, Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/399.
- 26.
“Références extérieures à Bourbaki. Pour les références fondamentales, elles seront données avec soin dans les laïus historiques ou excitateurs; éventuellement dans le texte; (il s’agit donc de références vérifiées, correctes et complète).
“Pour les références de technique, simple mention de l’auteur présumé. Pour les autres, comme on pourra, sans y attacher trop d’importance (emploi de négres pour dépistage)” “Décisions Escorial (typographie et rédaction),” p. 3. Archives Bourbaki, 36
- 27.
A document is mentioned in the Bourbaki Archives with the title “Note historique: topologie Chap. I,” http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/425, but when we last checked, it was unavailable.
- 28.
Earlier books by the same author also included short historical discussions, e.g., Severi (1921).
- 29.
“Pour caractériser d’une façon très schématique cette différence d’esprit, on peut dire que les notices des Eléments de mathématique de N. Bourbaki ont été rédigées par des mathématicien s’intéressant à l’histoire de leur discipline, à l’intention d’autres mathématiciens également curieux des origines de leur science, tandis que celles de l’Encyclopédie l’ont été avec la participation active d’historiens des mathématiques professionnels qui écrivent, en partie du moins, à l’intention d’un public d’historiens.” (Taton 1961, 158–159).
- 30.
Two instances in the archives: Jean Delsarte , “Sous-commission bibliographique 13/04/1935” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/10; and “Bourbaki’s Dicktat [sic]—Congrès du 18-28/09/1936” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/28.
- 31.
“Comme d’habitude, les Notes historiques seront discutées ultérieurement, lors du petit Congrès qui se tiendra en décembre 1945 à Nancy; Weil et Chevalley enverront leurs observations à ce Congrès par correspondance.” “No. 11[sic]—15 juillet 1945 CR du Congrès de Paris,” p. 5. Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/88.
- 32.
“On renonce à faire (même en Appendice) la résolution des équations par radicaux, mais il faudra que la Note historique expose succinctement le lien entre cette question et la théorie moderne des corps.” “Compte rendu du Congrès de Nancy (9–13 avril 1948),” p. 2. Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/93.
- 33.
“La Note historique des Chap. II–III d’Algèbre, lue en guise de discours inaugural, mit le Congrès ‘in the right mood’ [sic] quant à l’Algèbre: il glorifia Fermat, suivit docilement les méandres du linéaire et scruta l’influence de Mallarmé sur Bourbaki.” “Observations du Congrès de Paris (18–20 Janvier 1947),” p. 1. Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/92. On the humorous tone of Bourbaki’s documents, see Beaulieu (1998).
- 34.
“[version ronéo de l’ensemble des textes],” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/63. A preliminary document rather mentions “laïus historico-bibliographico-excitants,” which is probably what was truly meant. See “Engagements de Dieulefit,” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/56.
- 35.
Jean Delsarte , “Comité du Traité d’analyse—Réunion du 11/02/1935,” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/5.
- 36.
Jean Delsarte , “Traité d’ Analyse—Réunion du 25/02/1935,” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/6.
- 37.
“les notions de qualité, de quantité, de grandeur, et la notion de mesure, qui les relie à celle de nombre, sont apparues très tôt dans l’histoire de la pensée humaine. Elles sont à la base de la vie civilisée et de la science expérimentale actuelle; quant aux mathématiques, elles doivent leur origine et leurs outils les plus essentiels (comme le nombre réel ou l’intégrale) aux problèmes que pose la mesure des grandeurs. Le but de cette introduction et de montrer comment, par une analyse de ces notions concrètes, on peut en dégager les problèmes mathématiques abstraits qui seront étudiés dans les chapitres suivants.” “Théorie de la mesure et de l’intégration: Introduction (Etat 2),” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/414.
- 38.
“Dire explicitement que nous nous désintéressons des querelles du début du siècle sur les ensembles et leurs paradoxes.” “Compte rendu du Congrès de Nancy (9–13 avril 1948),” p. 6. Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/93.
- 39.
“No. 22 Compte rendu du Congrès de la revanche” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/100.
- 40.
“No. 25 Compte rendu du Congrès oecuménique de Pelvoux (1951),” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/102.
- 41.
“No. 26 Compte rendu du Congrés croupion (oct 1951),” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/103.
- 42.
In the report of the Congress in the summer 1952, one reads that: “Note historique: Samuel se fera tapirer par Rosser à Ithaca.” See “Pelvoux 25 juin–8 juillet 1952,” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/105. The verb tapirer is ENS slang for privately tutoring. Samuel was introduced to Bourbaki in 1945. See “No. 11 [sic]–15 juillet 1945 CR du Congrès de Paris,” p. 2. Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/88.
- 43.
“No. 29 Celles-sur-Plaine, 19–26 oct. 1952,” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/106.
- 44.
An otherwise critical reviewer thus wrote in 1956: “Chap. IV, entitled Duality in topological vector spaces, is […] the most useful of all five chapters. Here is a complete and readable account of the various topologies for the space of continuous linear functionals on a topological vector space “(Hewitt 1956, 508).
- 45.
Jean Delsarte, “Traité d’Analyse—Réunion du 25 mars 1935,” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/8.
- 46.
Jean Delsarte , “Traité d’Analyse—Comité de rédaction 06/05/1935,” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/11.
- 47.
For example in Jean Leray , “Théorie des systèmes de n équations à n inconnues. Théorie des équations fonctionnelles. A titre documentaire: Projet d’exposé des théorèmes d’existence topologiques par J. Leray (1935),” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/619; or “Avant-projet—équations intégrales (Delsarte) ,” (dated September 18, 1936), Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/38.
- 48.
“Serment,” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/18.
- 49.
“Équations fonctionnelles linéaires,” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/26.
- 50.
“Journal de Bourbaki No. 8; 16/02/1937,” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/72.
- 51.
“Journal de Bourbaki No. 9; 16/03/1937,” Archives Bourbaki, http://purl.oclc.org/net/archives-bourbaki/73.
- 52.
This is the current research topic of a working group organized by Christian Houzel. See an abstract in Beaulieu et al. “Bourbaki et les espaces vectoriels topologiques: histoire et création mathématique,” http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00593455.
- 53.
Note that the French version mentions biographical rather than bibliographical information (Bourbaki 1994a, v).
- 54.
In the following, all pages numbers in square brackets without any other indication will be understood as taken from the English edition of the Elements of the History of Mathematics (Bourbaki 1994b).
- 55.
The teachings of Cauchy at the École polytechnique, of Kronecker and Weierstrass at the university of Berlin where they introduced the “axiomatics” of determinants, and Gauss ‘ courses followed by Riemann at Göttingen in 1846–1847 were thus mentioned (resp. pp. 59, 64, and 129n).
- 56.
“Nous ne pouvons décrire ici le côté pittoresque de cette sensationnelle découverte—les querelles qu’elle provoqua entre Tartaglia, d’une part, Cardan et son école de l’autre—ni les figures, souvent attachantes, des savants qui en furent les protagonistes” (Bourbaki 1994a, 96).
- 57.
Early in the book, Bourbaki similarly underscored that Boole “must be considered to be the real creator of modern symbolic logic” [p. 8]. Galois was considered as the “real initiator” of the theory of substitution [p. 51]. The notion of tensor product of two algebras “must be attributed” to Benjamin Pierce [p. 118].
- 58.
One may note that Bourbaki is using the present tense to talk about the past and try to infer something from this unusual practice in English. In our view, this would be mistaken since this was then already a common practice in French historical writing to use the present tense.
- 59.
On Bourbaki’s implicit place in the historical notes, see also Beaulieu (1998, 114).
- 60.
In Bourbaki’s history of mathematics, one also finds mentions of Bourbaki’s Elements of Mathematics, as well as Henri Cartan’s notion of filters [160 and 180]. Chevalley is mentioned eight times in the text.
- 61.
“Quant à parler à des non-spécialistes de mes recherches ou de toute autre recherche mathématique, autant vaudrait, il me semble, expliquer une symphonie à un sourd. Cela peut se faire; on emploie des images, on parle des thèmes qui se poursuivent, qui s’entrelacent, qui se marient ou divorcent; d’harmonies tristes ou de dissonances triomphantes: mais qu’a-t-on fait quand on a fini? Des phrases, ou tout au plus un poème, bon ou mauvais, sans rapport avec ce qu’il prétendait décrire” (Weil 1979, 255).
- 62.
To examine the relationship between Bourbaki’s notion of “school” and attempts by historians of science to give some substance to the notion of “research schools” (Geison and Holmes 1993) (and esp. Servos’ paper therein) is a suggestive idea, but a path not taken here. For a discussion of the “modern mathematical research schools,” see Ferreirós (1999) and Rowe (2003).
- 63.
There also were several mentions of the Pythagorean “school” [pp. 2, 69, 147], whose heirs, the Peripathetics, opposed the “Megaric and Stoic schools” [p. 5].
- 64.
There were many more instances where schools are associated with individual mathematicians: Boole’s system as the basis for an active school of logicians [p. 9]; “the Peano school” suffering a “heavy blow” from Poincaré’s “unjustified” criticism that “became an obstacle to the diffusion of his [Peano’s ] doctrine in the world” [p. 10]; Zariski and his school of algebraic geometry [p. 52]; a school working on Lie algebra in Leipzig [pp. 119 and 254]; a school whose main representative was von Staudt [p. 134].
- 65.
And also: the “German school of number Theory” [p. 98]; and “the German school of Geometry in the years 1870–1880” [p. 104].
- 66.
One can find mentions of: the “American school, around E.H. Moore and L.E. Dickson ” for the study of finite fields [p. 120]; an “the anglo-American school” in algebra [p. 118] (partly overlapping with the English school of algebraists, “most notably Morgan and Cayley ” [pp. 52, 117]); an Italian school (Dini and Arzelà ) as well as a German school (Hankel , du Bois-Reymond ) on uniform convergence [p. 205]; the Russian and Polish schools in topology [p. 156]; and, from a different time period, the “Italian school” at the beginning of the 16th century, solving algebraic equations by radicals [pp. 50 and 73].
- 67.
Dictionnaire de l’Académie française, 4th ed. (1762); online edition (accessed October 28, 2013): http://artfl-project.uchicago.edu/.
- 68.
“Je redoute votre absolutisme, votre certitude de détenir la vraie foi en mathématiques, votre geste mécanique de tirer le glaive pour exterminer l’infidèle au Coran bourbakiste. […] Nous sommes nombreux à vous juger despotique, capricieux, sectaire.” Arnaud Denjoy to Henri Cartan (May 22, 1954). Archives de l’Académie des sciences, fonds Montel, carton 1.
- 69.
- 70.
For other attempts at restricting the notion of school in the historiography of mathematics, see Ferreirós (1999, xviii–xx) and Parshall (2004, 271–274).
- 71.
For a list of talks delivered at the Seminar since 1948, see http://www.ihp.fr/seminaire/SHM-histoire.
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Paumier, AS., Aubin, D. (2016). Polycephalic Euclid? Collective Practices in Bourbaki’s History of Mathematics. In: Remmert, V., Schneider, M., Kragh Sørensen, H. (eds) Historiography of Mathematics in the 19th and 20th Centuries. Trends in the History of Science. Birkhäuser, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-39649-1_10
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