Hilbertraummethoden

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt⁹³⁾ untersuchen wir Randwertaufgaben für elliptische Differentialgleichungen der Ordnung 2m im ℝⁿ (m, n ∈ ℕ, wobei variable Koeffizienten zugelassen sind. Für die Behandlung dieses allgemeinen Falles erweisen sich die Integralgleichungsmethoden (s. Abschn. 5.3.3) als nicht sehr zweckmäßig: Mit wachsender Ordnung und/oder Raumdimension werden sie zunehmend schwerfälliger. Außerdem müssen die Ränder der betrachteten Gebiete glatt sein, und nur unter erheblichem zusätzlichem Aufwand lassen sich z.B. Gebiete mit Ecken (etwa Quader im ℝ³) behandeln. Dagegen können mit Hilbertraummethoden auch Gebiete mit nicht glatter Berandung in die Untersuchungen mit einbezogen werden. Dies geschieht durch Abschwächung des Lösungsbegriffes.