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Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

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Numerische Behandlung von Differentialgleichungen

Part of the book series: Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften ((GL,volume 60))

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Zusammenfassung

Das Differenzenverfahren verwendet das Prinzip, alle Differentialquotienten durch Differenzenquotienten zu ersetzen; es ist bei beliebigen Differentialgleichungsaufgaben anwendbar.

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Literatur

  1. Schon Gauss hat nach dieser Methode Lösungen linearer Gleichungssysteme berechnet; die Methode wurde wieder aufgegriffen von Ph. L. Seidel: Münch. Akad. Abh. 1874, S. 81-108, bezüglich der Konvergenz untersucht von R. v. Mises u. H. Pollaczek-Geiringer: Praktische Verfahren der Gleichungsauflösung. Z. angew. Math. Mech. Bd. 9 (1929) S. 62–77, und in großem Umfange angewendet und in zwei Büchern dargestellt von R. V. Southwell: Relaxation methods in Engineering Science, A Treatise on approximate Computation, Oxford Univ. Press 1943; Relaxation methods in Theoretical Physics, A Continuation of the Treatise, Oxford Univ. Press 1946, 248 S., vgl. auch hier Kap. V, Nr. 1.6.

    Google Scholar 

  2. Lösungen des Gleichungssystems (2.6) in geschlossener Form findet man für n=1 und 2 bei L. Collatz: Das Differenzenverfahren mit höherer Approximation für lineare Differentialgleichungen. Schriften math. Sem. u. Inst. für angew. Math. d. Univ. Berlin Bd. 3 (1935) S. 1–34

    Google Scholar 

  3. und für allgemeines n bei E. Pflanz: Über die Bildung finiter Ausdrücke für die Lösung linearer Differentialgleichungen. Z. angew. Math. Mech. Bd. 17 (1937) S. 296–300.

    Article  Google Scholar 

  4. Ausdrücke bei nicht äquidistanten Abszissen werden angegeben bei E. Pflanz: Allgemeine Differenzenausdrücke für die Ableitungen einer Funktion y(x). Z. angew. Math. Mech. Bd. 29 (1949) S. 379–381.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  5. Bei E. J. Nyström: Zur numerischen Lösung von Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. Acta math., Stockh. Bd. 76 (1944) S. 157–184, wird mit Benutzung der Greenschen Funktion für y″ = f (x, y), y(x a) = y a, y(x b) = y b ein spezielles Mehrstellenverfahren entwickelt und Formeln für 1 bis 4 Zwischenabszissen (auch nicht äquidistante) angegeben; z. B. lauten seine Formeln bei 3 äquidistanten Zwischenabszissen (x i= x a + i h mit 4h = x b − x a , y i=y(x i)), +Restglied.

    Article  Google Scholar 

  6. Für Gleichungen 2. Ordnung gewinnt F. Stüssi, Numerische Lösung von Randwertproblemen mit Hilfe der Seilpolygongleichung, Z. angew. Math. Phys. Bd. 1 (1950), S. 53–70, die Mehrstellenformel allein auf Grund mechanischer Überlegungen bei Seilpolygonen. Er verwendete diese Formel bereits 1935 (die Stabilität des auf Biegung beanspruchten Trägers, Abhandlungen Internat. Vereinigung für Brückenbau und Hochbau, Bd. 3, Zürich 1935, S. 401-420, speziell 413), und stellte in zahlreichen Arbeiten spezielle Mehrstellenformeln auch für gewöhnliche Gleichungen 4. Ordnung und für die Plattengleichung auf, stets allein mit Hilfe von Gedankengängen aus der Statik; vgl. auch F. Stüssi, Baustatik, Bd. I, Basel 1946.

    Article  MATH  Google Scholar 

  7. Nach einer auf etwas andere Weise aufgestellten Methode von H. Sassenfeld: Ein Summenverfahren für Rand-und Eigenwertaufgaben linearer Differentialgleichungen. Z. angew. Math. Mech. Bd. 31 (1951) S. 240–241; ausführlich dargestellt bei R. Zurmühl: Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker, S. 404ff. Berlin/Göttingen/Heidelberg 1953; dort als „Quadraturverfahren“ bezeichnet.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  8. Mises, R. v., u. H. Pollaczek-Geiringer: Praktische Verfahren der Gleichungsauflösung. Z. angew. Math. Mech. Bd. 9 (1929) S. 58–77.

    Article  MATH  Google Scholar 

  9. Bei Randwertaufgaben monotoner Art läßt sich oft eine ganz andersartige Fehlerabschätzung durchführen, bei der man keine Schranken für die Beträge der höheren Ableitungen zu kennen braucht; vgl. L. Collatz: Aufgaben monotoner Art. Arch. Math. Bd. 3 (1952) S. 375; dort findet sich auch ein Zahlenbeispiel mit Fehlerschranken.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  10. Anwendungen der Störungsrechnung bei Eigenwertaufgaben finden sich bei W. Meyer Zur Capellen: Methode zur angenäherten Lösung von Eigenwertproblemen mit Anwendungen auf Schwingungsprobleme. Ann. Phys. (5) Bd. 8 (1931) S. 297–352 — Genäherte Berechnung von Eigenwerten. Ing.-Arch. Bd. 10 (1939) S. 167-174.

    Article  MATH  Google Scholar 

  11. F. Rellich: Störungstheorie der Spektralzerlegung. Math. Ann. Bd. 113 (1936) S. 600 bis 619; Bd. 114 (1937) S. 677-685; Bd. 116 (1939) S. 555-570; Bd. 117 (1940) S. 356-382; Bd. 118 (1942) S. 462-484.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  12. B. v. Sz. Nagy: Perturbations des transformations autoadjointes dans l’espace de Hillbert. Comment. math. Helvetici Bd. 19 (1946) S. 347–366. — Perturbations des transformations linéaires fermées, Acta sci. math. Szeged Bd. 14 (1951) S. 125-137.

    Article  Google Scholar 

  13. J. Schröder: Fehlerabschätzungen zur Störungsrechnung bei linearen Eigenwertproblemen mit Operatoren eines Hilbertschen Raumes. Math. Nachr. Bd. 10 (1953) S. 113–128. — Fehlerabschätzungen zur Störungsrechnung für lineare Eigenwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. Z. angew. Math. Mech. Bd. 34 (1954) S. 140-149, mit Zusammenstellung der Ergebnisse in einer unmittelbar anwendbaren Form.-FR.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  14. W. Schäfke: Über Eigenwertprobleme mit 2 Parametern. Math. Nachr. Bd. 6 (1951) S. 109–124 — Verbesserte Konvergenz-und Fehlerabschätzungen für die Störungsrechnung. Z. angew. Math. Mech. Bd. 33 (1953) S. 255-259.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  15. Vgl. F. Lettenmeyer: Über die von einem Punkt ausgehenden Integralkurven einer Differentialgleichung 2. Ordnung. Deutsche Mathematik Bd. 7 (1944) S. 56–74. Lettenmeyer bewies Konvergenz des Iterationsverfahrens bei Ausgehen von einer linearen, die Randbedingungen erfüllenden Funktion u 0(x) gegen die eindeutig bestimmte Lösung der Randwertaufgabe im Falle Der Vergleich zeigt, daß die optimale Konstante \( \frac{{{b^2}}}{{{\pi ^2}}} \) auch hier bei (4.39) für A 1 = 0 auftritt, daß aber im Falle A 1 ≠ 0 in (4.43) der Faktor von A 0 ungünstiger und der von A 1 günstiger ist als bei Lettenmeyer.

    MathSciNet  Google Scholar 

  16. Kamke, E.: Math. Z. Bd. 48 (1942) S. 70.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  17. Weber, C.: Z. angew. Math. Mech. Bd. 21 (1941) S. 310–311.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  18. Ein weiter reichender Satz wurde von H. Wielandt aufgestellt: Das Iterationsverfahren bei nicht selbstadjungierten Eigenwertaufgaben. Math. Z. Bd. 50 (1944) S. 93–143.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  19. Weniger einschränkende Voraussetzungen haben E. Stiefel u. H. Ziegler: Natürliche Eigenwertprobleme. Z. angew. Math. Phys. Bd. 1 (1950) S. 111–138.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  20. Für die speziellen Eigenwertprobleme wurde der Einschließungssatz für den ersten Eigenwert λ1 bewiesen von G. Temple: The Computation of Characteristic Numbers and Characteristic Functions. Proc. Lond. math. Soc. (2) Bd. 29 (1929) S. 257–280.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  21. Methode von F. Kieszling: Eine Methode zur approximativen Berechnung einseitig eingespannter Druckstäbe mit veränderlichem Querschnitt. Z. angew. Math. Mech. Bd. 10 (1930) S. 594–599.

    Article  Google Scholar 

  22. Wielandt, H.: Ein Einschließungssatz für charakteristische Wurzeln normaler Matrizen. Arch. Math. Bd. 1 (1949) S. 348–352 und Fiat-Review, Naturforschung und Medizin in Deutschland 1939-1946, Bd. 2 (1948) S. 98. Eine ältere Formulierung bei

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  23. K. Friedrichs u. G. Horvay: The finite Stieltjes momentum problem. Proc. nat. Acad. Sci., Wash. Bd. 25 (1939) S. 528–534; eine ausführlichere Darstellung bei H. Bückner: Die praktische Behandlung von Integralgleichungen (Ergebnisse der angew. Mathematik, Heft 1), Berlin/Göttin gen/Heidelberg 1952.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  24. Kamke, E.: Über die definiten selbstadjungierten Eigenwertaufgaben IV. Math. Z. Bd. 48 (1942) S. 67–100.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  25. Collatz, L.: Z. angew. Math. Mech. Bd. 19 (1939) S. 228.

    Google Scholar 

  26. Grammel, K.: Ein neues Verfahren zur Lösung technischer Eigenwertprobleme. Ing.-Arch. Bd. 10 (1939) S. 35–46. Die Gleichungen sind dort auf andere Weise hergeleitet.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  27. Praktische Beispiele findet man durchgeführt bei E. Maier: Biegeschwingungen von spannungslos verwundenen Stäben, insbesondere von Luftschraubenblättern. Ing.-Arch. Bd. 11 (1940) S. 73–98.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  28. Vgl. auch R. Grammel: Über die Lösung technischer Eigenwertprobleme. VDI-Forsch.-Heft, Gebiet Stahlbau H. 6 (1943) S. 36–42.

    Google Scholar 

  29. Vgl. L. Collatz: Eigenwertaufgaben, a.a.O., S. 144 u. 191. Die Voraussetzung, daß F 0(x) Vergleichsfunktion ist, kann für die Formeln (8.54) durch die schwächeren in Nr. 8.3 für F 0(x) genannten ersetzt werden, der Beweis dafür ist in N. J. Lehmann: Beiträge zur numerischen Lösung linearer Eigenwertprobleme. Z. angew. Math. Mech. Bd. 29 (1949) S. 341 bis 356; Bd. 30 (1950) S. 1-16, erbracht.

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  30. Koch, J. J.: Bestimmung höherer kritischer Drehzahlen schnell laufender Wellen. Verh. 2. intern. Kongreß techn. Math. Zürich 1926, S. 213-218.

    Google Scholar 

  31. Eine andere Methode bei A. Fraenkle: Ing.-Arch. Bd. 1 (1930) S. 499 bis 526, speziell „Methode II“, S. 510ff. Ein Verfahren der Minimized Iterations wird aufgestellt bei

    Article  Google Scholar 

  32. C. Lanczos: An Iteration Method for the Solution of the Eigenvalue Problem of Linear Differential and Integral Operators. J. Res. Nat. Bur. Stand. Bd. 45 (1950) S. 255–282.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  33. Für Integralgleichungen aufgestellt von H. Bückner: Ein un-beschränkt anwendbares Iterationsverfahren für Fredholmsehe Integralgleichungen. Math. Nachr. Bd. 2 (1949) S. 304–313.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

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  1. Universität in Hamburg, Deutschland

    Dr. Lothar Collatz (O. Professor)

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Collatz, L. (1951). Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. In: Numerische Behandlung von Differentialgleichungen. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 60. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-22248-5_3

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