Zusammenfassung
Ein Großteil der in der empirisch-vergleichenden Politikwissenschaft verwendeten Datensätze ist räumlich und/oder zeitlich strukturiert. Räumliche und zeitliche Strukturen gehen in der Regel mit statistischen Abhängigkeiten einher, die bei der Datenanalyse mitberücksichtigt werden müssen. Dieser Beitrag stellt Random-Effects-Modelle (RE) und Fixed-Effects-Modelle (FE) als Analysemethoden für voneinander abhängige Beobachtungen vor. Dabei wird auf den Problemgegenstand eingegangen und die Anwendung von RE- und FE-Modellen erklärt. Darüber hinaus werden Entscheidungsheuristiken und Hinweise für die praktische Anwendung gegeben.
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Notes
- 1.
Im Vergleich zu Paneldaten handelt es sich bei TSCS-Daten um Aggregatdaten, bei denen die Anzahl der Zeitpunkte T in der Regel größer ist als die Anzahl der Untersuchungseinheiten N (T > N). Sowohl bei Panel- als auch TSCS-Daten ergeben sich ähnliche Problematiken hinsichtlich statistischer Abhängigkeit (zu Besonderheiten von TSCS-Daten siehe Beck und Katz 1995).
- 2.
In Bezug auf die Terminologie ist zu beachten, dass auch in RE-Modellen die geschätzten Koeffizienten mitunter als Fixed-Effects bezeichnet werden (z. B. im Rahmen der Mehrebenenanalyse, siehe auch den Beitrag von Pötschke in diesem Band). Dies soll verdeutlichen, dass die Effekte für alle Gruppen in der untersuchten Population als identisch bzw. fix angenommen werden. Hingegen beziehen sich hier die Bezeichnungen RE und FE auf Modellklassen, mit jeweils distinkten Eigenschaften.
- 3.
Gruppen haben in der Regel keinen intrinsischen Informationsgehalt, sind austauschbar und beinhalten eine große Anzahl an Kategorien (analog zur Definition höherer Ebenen/Level in der Mehrebenenanalyseliteratur). Merkmale, die diese Kriterien nicht erfüllen (z. B. Geschlecht), gelten als Variable und nicht als Gruppe.
- 4.
Neben einer solchen räumlich-kategorialen Abhängigkeit, können auch Formen räumlich-kontinuierlicher Abhängigkeit existieren, bei der nahe beieinander liegende Beobachtungen sich ähnlich sind und diese Ähnlichkeit mit zunehmender räumlicher Distanz abnimmt. In solchen Fällen kommen spezielle räumliche Regressionsverfahren zum Einsatz, bei denen Merkmale der umliegenden Beobachtungen gewichtet nach ihrer Distanz zueinander einbezogen werden.
- 5.
Formal zeigt diese Maßzahl die Korrelation von Werten zweier zufällig ausgewählter Beobachtungseinheiten derselben (zufällig ausgewählten) Gruppe j an: \( Corr\left({y}_{ij},{y}_{kj}\right)=\frac{\, Cov\left({y}_{ij},{y}_{kj}\right)}{\sqrt{\, Var\left({y}_{ij}\right)}\ast \sqrt{\, Var\left({y}_{kj}\right)}}\stackrel{\wedge}{=}\frac{\sigma_u^2}{\sigma_u^2+{\sigma}_e^2},i\ne k. \)
- 6.
Das Ausmaß des Fehlers der Beobachtung i darf also keinen Effekt auf das Ausmaß (oder die Richtung) des Fehlers der Beobachtung k haben. Formell ausgedrückt: Corr(ei, ek) = 0, für alle i ≠ k. Der Erwartungswert aller paarweisen Produkte von Fehlern ist folglich null.
- 7.
Unverzerrtheit (auch als Erwartungstreue bezeichnet) bedeutet, dass der Durchschnitt hypothetisch vieler unabhängiger Replikationen einer Schätzung (mit wiederholt gezogenen Stichproben) dem tatsächlichen Populationswert entspricht oder ihm zumindest sehr nahe kommt. Konsistenz bedeutet zudem, dass ein Schätzer mit immer größerem Stichprobenumfang immer genauer wird.
- 8.
Zum Beispiel zeigt in Stata „rho“ im Output des „xtreg var1 var2 etc., re“-Befehls den Anteil unerklärter Varianz der Gruppenebene gegeben das jeweilige Modell an.
- 9.
Ist die Homoskedastizitätsannahme (einheitliche Verteilung der Fehler) verletzt, beeinträchtigt dies ebenfalls die Unverzerrtheit von Standardfehlern und Gültigkeit von Teststatistiken. Verletzungen dieser Annahme können zum Beispiel mithilfe des White-Tests geprüft werden.
- 10.
Häufig wird angenommen, dass die serielle Korrelation zwischen zwei aufeinander folgenden Beobachtungszeitpunkten am stärksten ist und mit wachsendem zeitlichem Abstand rasch abnimmt. Diese auch als Autokorrelation erster Ordnung (AR(1)) bezeichnete Fehlerstruktur kann beispielsweise in Stata mit den Befehlen „xtgee var1 var2 etc., corr(ar1)“ oder „xtregar var1 var2 etc.“ modelliert werden.
- 11.
- 12.
Weitere Ursachen für eine Verletzung der Exogenitätsannahme, auch als Endogenenitätsverzerrung (Endogeneity-Bias) bezeichnet, sind Messfehler sowie wechselseitige Kausalität.
- 13.
Auch als Schätzer, Effekt, Steigungsparameter oder Regressionsgewicht bezeichnet.
- 14.
Neben der Exogenitätsannahme wird die Linearität der Parameter vorausgesetzt, es darf keine perfekte Multikollinearität zwischen den Variablen herrschen und x muss variable Werte aufweisen (bzw. darf nicht konstant sein). Damit auch die Standardfehler (und damit Teststatistiken) unverzerrt sind, müssen die Fehler einen Erwartungswert von null aufweisen, normalverteilt sein und die Varianz der Fehler muss konstant für alle Ausprägungen von x sein (Homoskedastizität). Zudem darf keine serielle Korrelation vorherrschen. Eine weitere Annahme ist, dass die Beobachtungen eine zufällige Auswahl aus einer bestimmten Grundgesamtheit bzw. Population widerspiegeln, was für die Gültigkeit statistischer Inferenz notwendig ist.
- 15.
Wäre Verträglichkeit die einzige ausgelassene Variable und gäbe es einen passenden Indikator, den wir in die Gleichung einbeziehen könnten, wäre der Effekt von Einkommenszufriedenheit für Verträglichkeit kontrolliert. Die Exogenitätsannahme wäre somit erfüllt und der Koeffizient für Einkommenszufriedenheit unverzerrt.
- 16.
Tests wie der Ramsey-RESET-Test zeigen zwar Missspezifikationen im Hinblick auf bereits im Modell vorhandene Variablen an, jedoch nicht, ob weitere ausgelassene Variablen relevant sind. Welche ausgelassenen Variablen relevant sind, sollte sich daher vorrangig nach theoretischen Überlegungen richten.
- 17.
Analog dazu bezieht sich der sogenannte Between-Schätzer auf eine Regression, die nur die Gruppendurchschnitte einbezieht. Der Within-Schätzer bezieht sich auf Regressionen mit Beobachtungen der jeweiligen Gruppen. Gemittelte Within-Schätzer sind äquivalent zu Koeffizienten aus FE-Modellen (siehe Abschn. 3.2).
- 18.
Werden Variablen der Gruppenebene in ein OLS-Modell aufgenommen, resultieren daraus in der Regel Schätzer mit zu geringen Standardfehlern, was wiederum zu invaliden Teststatistiken führt (Moulton 1986).
- 19.
Zudem werden auch in RE-Modellen Linearität der Parameter, keine perfekte Multikollinearität, Fehlerterme (auch der Fehlerterm der Gruppenebene) mit einem Erwartungswert von null, normalverteilte Fehlerterme, konstante Varianz der Fehlerterme, keine serielle Korrelation der Fehler sowie Unkorreliertheit der Fehler (u, e) untereinander angenommen. Untersuchungseinheiten sollten eine zufällige Auswahl aus einer Grundgesamtheit sein. Darüber hinaus wird angenommen, dass auch die Untersuchungseinheiten der Gruppenebene eine zufällige Auswahl aus einer Grundgesamtheit (bzw. einem Universum von Gruppen) sind. Wenn Länder die Gruppeneinheit darstellen, ist diese Annahme nicht plausibel. Daher sollten die Ergebnisse in diesem Fall nicht als Vorhersagen über zugrundeliegende Populationen, sondern nur in Bezug auf die Länderauswahl im jeweiligen Sample interpretiert werden. Ob man in diesem Fall für die Parameter der Gruppenebene überhaupt statistische Inferenz durchführen sollte, ist eine offene Frage.
- 20.
Es werden J-1 Dummies geschätzt, da eine Gruppe als Referenzkategorie ausgelassen wird, um das Modell zu identifizieren.
- 21.
Programmierte FE-Routinen in Statistikprogrammen (z. B. „xtreg var1 var2 etc., fe“ in Stata) nutzen in der Regel diese Variante.
- 22.
Neben Exogenität der Prädiktorvariablen werden auch im FE-Modell Linearität, keine perfekte Multikollinearität und bestimmte Eigenschaften der Fehler (Erwartungswert von null, Normalverteilung, konstante Varianz, keine serielle Korrelation) angenommen. Auch müssen die Beobachtungseinheiten eine zufällige Auswahl aus der Grundgesamtheit darstellen (bei Paneldaten zumindest zu Beginn des Beobachtungszeitraums), damit statistische Testverfahren gültig sind.
- 23.
Wie bei den Ausführungen zu RE-Modellen betont wurde, hängt das Ausmaß, in dem eine RE-Schätzung in Richtung FE-Schätzer gewichtet ist, von der Anzahl an Perioden (Paneldaten) bzw. der durchschnittlichen Fallzahl pro Gruppe ab. Bei Querschnittsdaten mit hoher Fallzahl pro Gruppe (ländervergleichende Umfragedaten) werden daher die Schätzer von RE- und FE-Modellen kaum wesentlich voneinander abweichen. Im Falle von Paneldaten (insbesondere mit geringer Anzahl an Wellen), basieren RE-Modelle stärker auf Between-Group-Variance, was Abweichungen im Modellvergleich wahrscheinlicher macht.
- 24.
Clark und Linzer (2015, S. 405 f.) finden in einer Simulationsstudie, dass bei Vorliegen selbst kleinster Korrelationen zwischen gruppenbezogenem Fehlerterm und den Prädiktorvariablen FE-Modelle der Verwendung von OLS- oder RE-Modellen vorzuziehen sind. Nur in einem (praktisch eher unwahrscheinlichen) Szenario, in dem die korrelierte unbeobachtete Heterogenität nicht allzu groß, die Fallzahl innerhalb der Gruppen gering (<20) und die Varianz innerhalb der Gruppen sehr gering waren (auch als Slow-Moving oder Sluggish-Data bezeichnet), wiesen RE-Modelle eine geringere Verzerrung als FE-Schätzer auf.
- 25.
Zwar können Gruppeneigenschaften mit Variablen innerhalb von Gruppen interagiert werden. Allerdings lässt sich damit nicht der allgemeine Einfluss einer Gruppeneigenschaft abbilden, sondern ob und wie stark der Effekt einer Intra-Gruppenvariable entlang eines bestimmten Gruppenmerkmales variiert.
- 26.
- 27.
Zum Beispiel untersuchen Schmidt-Catran und Spies (2016), ob sich Zuwanderung in Deutschland auf die Unterstützung für wohlfahrtsstaatliche Maßnahmen auswirkt. Dabei desaggregieren die Autoren die Variable Zuwanderung in eine Within- und Between-Komponente. Die Ergebnisse des Hybrid-Modells zeigen, dass nur der Within-Schätzer einen signifikanten (negativen) Einfluss auf wohlfahrtsstaatliche Unterstützung hat, was als Beleg für die Relevanz zeitlicher Veränderungen (im Vergleich zum langfristigen Gesamtniveau) gewertet wird.
- 28.
Bei Paneldaten bezieht sich der idiosynkratischen Fehler auf unbeobachtete zeitveränderliche Prozesse. Bei gruppierten Querschnittsdaten aus einer Umfrage, welche sich in der Regel weitaus weniger für die Identifikation kausaler Effekte eignen, bezieht sich der idiosynkratische Fehler auf unbeobachtete Befragtenmerkmale.
- 29.
Bei einer Einbettung in mehrere nicht-hierarchische Kontexte kommen sogenannte Cross-Classified-Mehrebenenmodelle in Betracht (Snijders und Bosker 2012, S. 205 ff.).
- 30.
Als Ausreißer werden einflussreiche Fälle verstanden, die Koeffizientenschätzer maßgeblich beeinflussen und unter deren Exklusion sich die Interpretation der Ergebnisse verändern würde.
- 31.
Ein Grund für die dennoch häufige Verwendung von ML ist, dass Modellvergleiche mit Devianztests wie dem Likelihood-Ratio-Test auf ML-Schätzungen beruhen müssen.
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