Bogen- und Flächenberechnungen

Zusammenfassung

Die Aufgaben der Bogenberechnungen ebener Kurven gaben bald nach der Erfindung der Differentialrechnung den Anlaß zur Aufstellung und Untersuchung von Integralen, die heute als „elliptische“ bezeichnet werden. Sehr erfolgreich ist in dieser Hinsicht der italienische Gelehrte Fagnano gewesen, der sich seit 1714 mit der Rektifikation verschiedener ebener Kurven, besonders ausführlich mit derjenigen der Lemniskate beschäftigt hat und als Vorläufer von Gauß die Möglichkeit erkannte, die Lemniskate mit Zirkel und Lineal in gewisse Anzahlen gleich langer Bogenstücke zu zerlegen. Dieser Gegenstand wird hier zuerst behandelt, weil er zu dem elliptischen Integrale erster Gattung im harmonischen Falle führt, der deshalb auch als der lemniskatische bezeichnet wird. Elliptische Integrale erster und zweiter Gattung stellen sich bei der Berechnung von Bogenlängen eine Reihe weiterer ebener Kurven ein, insbesondere bei der Ellipse und der Hyperbel. Als Beispiel einer Komplanation mittels elliptischer Integrale bestimmen wir die Oberfläche eines Ellipsoids.