Vollständige Induktion ohne den Gaußschen Existenzsatz

Zusammenfassung

Die im Thema und in der Variation 1 gegebenen Beweise des quadratischen Reziprozitätsgesetzes werden mit der Methode der vollständigen Induktion durchgeführt. Wesentlich wird darin benutzt, daß eine gegebene Primzahl q ≡ 1 (mod 4) nicht quadratischer Rest von allen Primzahlen < q ist. Der Nachweis für den Fall q ≡ 5 (mod 8) ist nicht schwierig, der für den Fall q ≡ 1 (mod 8) wurde von Kronecker „als eine Kraftprobe Gaußschen Geistes“ ([26,] S. 341) angesehen und erfordert „eine ungemein scharfsinnige Betrachtung“.¹) (Vgl. Satz 21.) Der elementare Beweis dieses Hilfssatzes hat Gauss große Schwierigkeiten gemacht; „demonstratio satis diu operam nostram elusit“²) berichtet er selbst darüber. „Die mathematische öffentliche Meinung hat... bei dem induktiven Beweis des Reziprozitätsgesetzes bisher jene Kraftprobe für unerläßlich gehalten“, schrieb König (1895).