Abstract
In den Arbeiten [1] und [2] sind für k≧1 die Summen φ2(N,α)=\(\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {B_k (\{ n\alpha \} )}\) für gewisse Zahlen α und große N nach oben und unten abgeschätzt worden. Dabei bezeichnet {x}=x−[x] der Bruchteil von x und Bk das k-te Bernoullipolynom. Der Fall k=1 ist in [4] ausführlich behandelt. In dieser Arbeit geben wir für φ2(N,α) eine "explizite" Formel an, die ihre Berechnung in O(log2N) Schritten ermöglicht. Schließlich werden bestmögliche Abschätzungen für φ (N,α) bei festem α und großem N angegeben.
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Literatur
BEHNKE H., Zur Theorie der Diophantischen Approximation, Abh. Math. Sem. Hamburg 3, 1924.
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SCHOISSENGEIER J., On the discrepancy of (nα), Acta Arithm. XLIV, 1984.
SCHOISSENGEIER J., Abschätzungen für \(\sum\limits_{n \leqq N} {B_1 (\{ n\alpha \} )}\), Monatshefte für Mathematik 102, 1986.
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Schoißengeier, J. (1987). Eine Explizite Formel Für \(\sum\limits_{n \leqq N} {B_2 (\{ n\alpha \} )}\) . In: Hlawka, E. (eds) Zahlentheoretische Analysis II. Lecture Notes in Mathematics, vol 1262. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/BFb0078602
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