Sur la topologie d'un espace de fonctions entieres avec poids

Sommaire

Un espace de fonctions entières sur ℂⁿ étant défini comme limite inductive d'espaces de Banach de fonctions entières avec poids, on démontre que sous des hypothèses très générales sur les poids, la topologie de l'espace peut être définie par une famille de semi-normes pondérées, ce qui prolonge un résultat de B.A. TAYLOR et K.D. BIERSTEDT.

Soit V une famille de fonctions v_j semi-continues inférieurement définies sur ℂⁿ à valéurs dans ℝ₊, telles que v_j+1<v_j(j≥1) et v_j≥0.

On désigne par E_j l'espace des fonctions entières f telles que pour chaque j≥1, sup|f(z)v_j(z)|<+∞, qui est un espace de Banach muni de la norme ||f||_j=sup|f(z)v_j(z)|.

On considère E=⋃E_j muni de la topologie limite inductive des E_j, que l'on notera les injections E_j→E_j+1 étant compactes, on sait que E est un espace de SILVA (cf. [2]).

On va décrire la topologie en termes de semi-normes pondérées. Pour celà, on introduit une famille K de fonctions semi-continues inférieurement: k définies sur ℂⁿ à valeurs dans ℝ₊,k>0, k>0, telles que pour tout j, pour tout z de ℂⁿ, il existe une constante ∝_j avec k(z)⩽∝_jv_j(z). Pour chaque k∈K, on définit une semi-norme sur E par

||f||_k=sup|f(z)k(z)|, la famille de semi-normes ainsi construite (non nécessairement dénombrable) détermine une topologie localement convexe sur E que l'on notera T.