Advertisement

Le problème \(\bar \partial\) de neumann et ses estimations sous-elliptiques

  • A. Talhaoui
Conference paper
  • 192 Downloads
Part of the Lecture Notes in Mathematics book series (LNM, volume 1028)

Résumé

L'existence d'estimations sous-elliptiques pour le problème \(\bar \partial\) de Neumann dans les domaines pseudo-convexes a été l'objet d'importants résultats obtenus à partir des travaux de J.J. Kohn.

Lorsque la frontière est strictement pseudo-convexe ou analytique réelle, on constate (cf. Chapitre I) que les problèmes les plus importants sont résolus.

Soit donc Ω un domaine de ℂn faiblement pseudo-convexe à frontière ℂ.

Ce travail porte sur l'existence de ces estimations sous-elliptiques en un point frontière zo de Ω où le rang de la forme de Lévi est ≥n-2.

Le second chapitre a pour objet d'établir une condition suffisante de nature algébrique portant sur le type d'un champ de vecteurs canonique; on en déduit une condition suffisante, portant sur le développment taylorien de la fonction r définissant Ω, qui peut se formuler ainsi: il existe un système de coordonnées locales d'origine zo pour lequel:

  • \(r(z) = Re(z_n ) + (F = \sum\limits_{\alpha > o,\beta > o} {C_{_{\alpha \beta } }^. z\mathop z\limits^{\alpha - \beta } } ) + \theta (|z|^{m + 1} )\);

  • La forme de Lévi est diagonale en zo;

  • F est un polynôme en zn−1 et \(\bar z_{n - 1}\) de degré m

  • \((\frac{\partial }{{\partial z_{n - 1} }})^\alpha (\frac{\partial }{{\partial \bar z_{n - 1} }})^\beta \frac{{\partial ^2 r}}{{\partial z_{n - 1} \partial \bar z_j }}(z_o ) = 0pour\begin{array}{*{20}c}{|\alpha + \beta | \leqslant m - 2} \\{j = 1,...,n - 2} \\\end{array}\).

Ce résultat est à rapprocher de celui de J.J. Kohn dans (14) où aucune hypothèse sur le rang de la forme de Lévi n'est faite mais où l'on suppose qu'elle est diagonable localement.

Dans un article récent (5), David Catlin a établi qu'à un point de sous-ellipticité les ordres de contact avec δΩ des courbes analytiques complexes étaient bornés supérieurement.

Dans le chapitre III, sous l'hypothèse de rang ≥n−2 pour la forme de Lévi, nous établissons une conjecture de T. Bloom selon laquelle cette borne supérieure est égale au sup{c1(T,zo)} des champs de vecteurs T holomorphes non nulles en zo et tangents à δΩ; ce qui démontre du même coup la réciproque du théorème de Catlin et donne ainsi une caractérisation géométrique des points de sous-ellipticité. Ce résultat est spécifique du rang nt-2 comme le montre un exemple.

Ces deux chapitres sont précédés d'un chapitre introductif où l'on présente les résultats les plus importants sur le sujet et les notions qui sont utilisés.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Bibliographie

  1. [1]
    BELL S., BOAS H., Regularity of the Bergman projection in weakly pseudoconvex domains. Math. Ann. 257 (1981), 23–30.MathSciNetCrossRefzbMATHGoogle Scholar
  2. [2]
    BELL S., LIGOCKA E., A simplification and extension of Fefferman's theorem on biholomorphic mappings. Inventiones math., 57 (1980), 283–289.MathSciNetCrossRefzbMATHGoogle Scholar
  3. [3](a)
    BLOOM T., Remarks on type conditions for real hypersurfaces in ℂn. Proc. of Int. Conf. on several complex variables. Cortona Italy, 1976–77. Sc. Norm. Sup. Pisa (1978), 14–24.Google Scholar
  4. [3](b)
    Sur le contact entre sous-variétés réelles et sousvariétés complexes de ℂn. Séminaire Pierre Lelong, 1975–76. Lectures Notes in Math., no 578, Springer-Verlag, Berlin and New York 1977, 28–43.CrossRefGoogle Scholar
  5. [3](c)
    On the contact between complex manifolds and real hypersurfaces in ℂ3. Trans. Am. Vol. 263, no 2 (1981), 171–182.MathSciNetGoogle Scholar
  6. [4](a)
    BLOOM T., GRAHAM I., A geometric characterization of points of type m on real submanifolds on ℂn. J. Differential Geometry 12 (1977), 171–182.MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  7. [4](b)
    BLOOM T., GRAHAM I. On "type" conditions for generic real submanifolds of ℂn, Inventiones Math. 40 (1977), 217–243.MathSciNetCrossRefzbMATHGoogle Scholar
  8. [5]
    CATLIN D., Necessary conditions for subellipticity and hypoellipticity for the \(\bar \partial\)-Neumann problem on pseudoconvex domains. Proc. Conference on Several Complex Variables, Princeton April, 1979.Google Scholar
  9. [6](a)
    COEURÈ G., Cours de DEA, 1977–78.Google Scholar
  10. [6](b)
    Cours de DEA, 1979–80.Google Scholar
  11. [7]
    D'ANGELO J., Finite type conditions for real hypersurfaces. J. Diff. Geometry 14 (1979), 59–66.MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  12. [8](a)
    DERRIDJ M., Sur la régularité des solutions des problèmes de Neumann pour \(\bar \partial\) dans quelques domaines faiblement pseudoconvex. J. Differential Geometry 13 (1978) 559–576.MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  13. [8](b)
    Estimations pour \(\bar \partial\) dans des domaines non pseudoconvexes. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 28 (1978), 239–254.MathSciNetCrossRefzbMATHGoogle Scholar
  14. [9]
    DIEDERICH K., FORNAESS J.E., Pseudoconvex domains with real analytic boundary. Ann. of Math., 107 (1978), 371–384.MathSciNetCrossRefzbMATHGoogle Scholar
  15. [10]
    FOLLAND G.B., KOHN J.J., The Neumann problem for the Cauchy Riemann Complex. Ann. of Math. Studies no 75, Princeton Univ. Press (1972).Google Scholar
  16. [11]
    FREEMAN M., Integration of analytic differential systems with singularities and some applications to real submanifolds of ℂn. J. Math. Soc. Japan 30 (1978), 571–578.MathSciNetCrossRefzbMATHGoogle Scholar
  17. [12]
    HÖRMANDER L., Introduction to complex analysis in several variables, North Holland, Amsterdam (1973).zbMATHGoogle Scholar
  18. [13]
    KERZMAN N., The Bergman-kernel function: differentiability at the boundary. Math. Ann., 195 (1972), 149–158.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  19. [14](a)
    KOHN J.J., Formes intégro-différentielles non coercives. Les presses de l'université de Montréal (1966).Google Scholar
  20. [14](b)
    Boundary behaviour of \(\bar \partial\) on weakly pseudoconvex manifolds of dimension 2. J. Differential Geometry 6 (1972), 523–542.MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  21. [14](c)
    Global regularity for \(\bar \partial\) on weakly pseudo-convex manifolds. Trans. Amer. Math. Soc. 181 (1973), 273–292.MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  22. [14](d)
    Subellipticity of the \(\bar \partial\)-Neumann problem on pseudo-convex domains: sufficients conditions, Acta Math., 142 (1979), 79–122.MathSciNetCrossRefzbMATHGoogle Scholar
  23. [15]
    KOHN J.J., NIREMBERG L., Non coercive boundary value problems. Comm. Pure Appl. Math. 18 (1965) 443–492.MathSciNetCrossRefzbMATHGoogle Scholar
  24. [16]
    NARASIMHAN, R., Introduction to the theory of analytic spaces. Lectures Notes in Math. No 25, Springer-Verlag, 1966.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1983

Authors and Affiliations

  • A. Talhaoui

There are no affiliations available

Personalised recommendations