Zusammenfassung
Problem: Gesucht wird die Lösung der nichtlinearen Gleichung T(x)=0 in einem H- oder B-Raum.
Die meisten der bekannten Iterationsverfahren — z.B. Newtonverfahren (N.V.), Verfahren des minimalen Residuums (M.R.) — konvergieren nur für Startwerte xo aus einer kleinen Umgebung einer lokal eindeutigen Lösung -x gegen diese.
Grund: Die Lipschitzfunktion L der jeweils zugeordneten Fixpunktgleichung hängt monoton von ‖xo−-x‖ ab. Nur für hinreichend kleine Werte von ‖xo−-x‖ liegt Kontraktion vor.
Unter Verwendung einer passend gewählten Einbettung T(s,x) mit s tikya[0,1] T(o,xo)=o, T(1,x)=T(x) kann die Forderung "‖xo−-x‖ klein genug "fallengelassen werden.
Die Methode läßt sich verallgemeinern auf alle lokalen Verfahren, die auf dem Kontraktionssatz beruhen.
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Wacker, H. (1974). Globalisierung lokaler Verfahren. In: Ansorge, R., Törnig, W. (eds) Numerische Behandlung nichtlinearer Integrodifferential-und Differentialgleichungen. Lecture Notes in Mathematics, vol 395. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/BFb0060680
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