Extension du Calcul Différentiel et Application à la Théorie des Groupes de Lie en Dimension Infinie

Résumé

L’efficacité de l’analyse fonctionnelle a fait oublier l’origine géométrique de nombreux problèmes. C’est à un retour aux sources, en quelque sorte, que l’on s’attelle ici, grâce aux «difféologies›» de J.M. Souriau. On est ainsi amené à construire le revêtement universel et l’espace tangent d’un espace difféologique, ce qui conduit dans la dernière partie à une rapide esquisse de la théorie des groupes de Lie. Dans un appendice on prouve enfin un résultat qui ne semble pas connu: tout champ de vecteurs sur une variété C^∞ paracompacte, de dimension finie, est somme d’au plus deux champs complets.

Abstract

The great efficiency of functional analysis has led to forget the geometrical origin of many problems. In this paper, we go back to the origins, with the help of J.M. Souriau’s diffeologies, and construct, in this general setting, universal coverings and tangent bundles. Then we show, rapidly, the importance of this new tool to treat the theory of Lie groups in infinite dimension. In an appendix we prove a result which seems to be unknown: on a finite dimensional C^∞ paracompact manifold, any vector field is the sum of at most two complete vector fields.