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Comparaison Hölderienne des distances sous-elliptiques et calcul S (m, g)

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Résumé

I. Distances sous-elliptiques. Soit 0 ∈ Ω ⊂ IR n et
$$ L = - \sum\limits_{1 \leqslant i,j \leqslant n} {{a_{ij}}} (x)\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x_i}\partial {x_j}}} + \ldots $$
(1.1)
un voisinage de l’origine relativement compact dans IR n et (1.1) un operateur differentiel sur ft, du second ordre, auto-adjoint, à coefficients C et à caractéristique positive \( (\sum {{a_{ij}}(x){\xi_i}{\xi_j} \geqslant 0} \) \( \forall x \in \Omega \) \( \forall \xi \in I{R^n} \) cf. [16]). A un tel opérateur on associe naturellement une distance canonique d(...) définie de la manière suivante (cf. [9], [12]):
$$ d(x,y) = \inf \{ r > 0:y \in {B_r}(x)\} $$
(1.2)
(1.2) où la boule \( {B_r}(x) = \{ y \in \Omega :{\exists_\gamma }:[0,r] \to \Omega, \gamma (0) = x,\gamma (r) = y\} \), le chemin γ étant supposé absolument continu et sous-unitaire pour L pour presque tout t ∈ [0, r]. Cette dèrniere condition signifie que le vecteur \( \dot \gamma (t) - d\gamma (\frac{\partial }{{{\partial_t}}}) \)est tel que \( \sum {{{\dot \gamma }_i}} (t)\dot \gamma (t){\xi_i}{\xi_j} \leqslant \sum {_{i,j}{a_{i,j}}(\gamma (t)){\xi_i}{\xi_j}} \),\( \forall \xi \in I{R^n} \) . Si l’opérateur L est elliptique d(.,.) est la métrique riemannienne associée à L. Si L n’est pas elliptique la distance d(.,) est en général singulière. Cependant, si on impose à L d’être sous-elliptique la distance d(.,) est alors Hölderienne par rapport à la distance euclidienne(cf. [9]), i.e. pour 0 < α < 1, on a
$$ d(x,y) \leqslant C|x - y{|^\alpha },x,y \in \Omega $$
(1.3)

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Copyright information

© Springer Science+Business Media Dordrecht 1995

Authors and Affiliations

  1. 1.Laboratoire Analyse complexe et GéométrieUniversité Pierre et Marie CurieParis, Cedex 05France

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