Comparaison Hölderienne des distances sous-elliptiques et calcul S (m, g)

Résumé

I. Distances sous-elliptiques. Soit 0 ∈ Ω ⊂ IR ⁿ et

$$ L = - \sum\limits_{1 \leqslant i,j \leqslant n} {{a_{ij}}} (x)\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x_i}\partial {x_j}}} + \ldots $$

(1.1)

un voisinage de l’origine relativement compact dans IR ⁿ et (1.1) un operateur differentiel sur ft, du second ordre, auto-adjoint, à coefficients C ^∞ et à caractéristique positive $(\sum {{a_{ij}}(x){\xi_i}{\xi_j} \geqslant 0}$ $\forall x \in \Omega$ $\forall \xi \in I{R^n}$ cf. [16]). A un tel opérateur on associe naturellement une distance canonique d(...) définie de la manière suivante (cf. [9], [12]):

$$ d(x,y) = \inf \{ r > 0:y \in {B_r}(x)\} $$

(1.2)

(1.2) où la boule ${B_r}(x) = \{ y \in \Omega :{\exists_\gamma }:[0,r] \to \Omega, \gamma (0) = x,\gamma (r) = y\}$, le chemin γ étant supposé absolument continu et sous-unitaire pour L pour presque tout t ∈ [0, r]. Cette dèrniere condition signifie que le vecteur $\dot \gamma (t) - d\gamma (\frac{\partial }{{{\partial_t}}})$est tel que $\sum {{{\dot \gamma }_i}} (t)\dot \gamma (t){\xi_i}{\xi_j} \leqslant \sum {_{i,j}{a_{i,j}}(\gamma (t)){\xi_i}{\xi_j}}$,$\forall \xi \in I{R^n}$ . Si l’opérateur L est elliptique d(.,.) est la métrique riemannienne associée à L. Si L n’est pas elliptique la distance d(.,) est en général singulière. Cependant, si on impose à L d’être sous-elliptique la distance d(.,) est alors Hölderienne par rapport à la distance euclidienne(cf. [9]), i.e. pour 0 < α < 1, on a

$$ d(x,y) \leqslant C|x - y{|^\alpha },x,y \in \Omega $$

(1.3)