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Teoria Perturbativa indipendente dal tempo

  • Leonardo AngeliniEmail author
Chapter
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Part of the UNITEXT for Physics book series (UNITEXTPH)

Sommario

6.1 Particella su un segmento: perturbazione quadrata

Una particella di massa m è vincolata a muoversi su un segmento in presenza di una piccola buca di potenziale data da
$$ \begin{aligned} V(x) = \left\{ \begin{aligned} \begin{array}{*{20}c} {\infty ,} & {{\text{se}}\,x < 0\,{\text{e}}\,x > L{\mkern 1mu} ,} \\ \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}c} {{ - }V_{ 0} ,} & {{\text{se}}\, 0< x < \frac{L}{ 2}{\mkern 1mu} ,} \\ \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}c} 0& {{\text{se}}\,\frac{L}{ 2} < x < L{\mkern 1mu} .} \\ \end{array} \hfill \\ \end{aligned} \right. \hfill \\ \hfill \\ \end{aligned} $$
Trattare la piccola buca (vedi figura 6.2) tra 0 e \( \frac{L}{2} \) come una perturbazione rispetto al ”normale” pozzo di potenziale e calcolare gli autovalori dell’energia al prim’ordine.

Soluzione

In assenza di perturbazione i livelli di energia e le relative autofunzioni sono:
$$ E_{n}^{(0)} = \frac{{\hbar^{2} \pi^{2} n^{2} }}{{2mL^{2} }},\;\;\;\;\psi_{n}^{(0)} (x) = \sqrt {\frac{2}{L}} {\mkern 1mu} \sin \frac{n\pi x}{L},\;\;\;\;n = 1,2, \ldots $$
La correzione del prim’ordine ai livelli di energia è data da
$$ \begin{aligned} E_{n}^{(1)} \, = \,\int_{0}^{L} d x{\mkern 1mu} \psi_{n}^{*} (x){\mkern 1mu} H_{1} (x){\mkern 1mu} \psi_{n} (x) = \hfill \\ = \,\frac{2}{L}{\mkern 1mu} \int_{0}^{{\frac{L}{2}}} d x{\mkern 1mu} \sin^{2} \frac{n\pi x}{L}{\mkern 1mu} ( - V_{0} ) = \hfill \\ = \, - \frac{{V_{0} }}{L}{\mkern 1mu} \int_{0}^{{\frac{L}{2}}} d x{\mkern 1mu} \left[ {1 - \cos \frac{2n\pi x}{L}{\mkern 1mu} } \right] = - \frac{{V_{0} }}{2}. \hfill \\ \end{aligned} $$
La correzione è la stessa per tutti i livelli.

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Copyright information

© Springer-Verlag Italia S.r.l. 2018

Authors and Affiliations

  1. 1.Bari UniversityBariItaly

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