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Sistemi in 2D e 3D e Momento angolare

  • Leonardo AngeliniEmail author
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Part of the UNITEXT for Physics book series (UNITEXTPH)

Sommario

3.1 Oscillatore Armonico piano

Un oscillatore armonico piano ha come Hamiltoniano
$$ H = \frac{1}{2m}(p_{x}^{2} + p_{y}^{2} ) + \frac{1}{2}m\omega^{2} (q_{x}^{2} + q_{y}^{2} ){\mkern 1mu} . $$
  1. a)

    Si dica quali sono i livelli energetici e la loro degenerazione;

     
  2. b)

    si scriva l’Hamiltoniano in termini degli operatori

    $$ \eta_{ + } = \frac{1}{\sqrt 2 }(a_{x} + ia_{y} )\qquad \eta_{ - } = \frac{1}{\sqrt 2 }(a_{x} - ia_{y} ) $$

    Con

    $$ a_{x} = \sqrt {\frac{m\omega }{2\hbar }} {\mkern 1mu} q_{x} + i\sqrt {\frac{1}{2m\omega \hbar }} {\mkern 1mu} p_{x} \qquad a_{y} = \sqrt {\frac{m\omega }{2\hbar }} {\mkern 1mu} q_{y} + i\sqrt {\frac{1}{2m\omega \hbar }} {\mkern 1mu} p_{y} $$
    e dei loro hermitiano coniugati;
     
  3. c)

    si scriva l’operatore momento angolare per questo problema; cosa si può dire sul momento angolare a fissato livello di energia?

     
Soluzione
  1. a)
    $$ {\mathscr{H}} = {\mathscr{H}}_{x} + {\mathscr{H}}_{y} = \hbar \omega (a_{x}^{\dag } a_{x} + a_{y}^{\dag } a_{y} + 1){\mkern 1mu} . $$

    Gli autovalori di \( {\mathscr{H}} \) sono dati da

    $$ E = (n + 1)\hbar \omega \;\;\;\;{\text{con}}\;n = 0,1, \ldots $$
    ai quali corrispondono gli autostati \( |n_{x} ,n_{y} \rangle \,con\,n_{x} + n_{y} = n,{\mkern 1mu} \,n_{x} > 0,{\mkern 1mu} \,n_{y} > 0, \) che possiamo anche scrivere nella forma
    $$ |k,n - k\rangle \;\;\;\;{\text{con}}\;k = 0,1, \ldots ,n{\mkern 1mu} . $$

    E n è quindi degenere \( n + 1 \) volte.

     
  2. b)
    In termini degli operatori η si ottiene
    $$ a_{x} = \frac{1}{\sqrt 2 }(\eta_{ + } + \eta_{ - } )\;\;\;\;\;a_{y} = \frac{1}{i\sqrt 2 }(\eta_{ + } - \eta_{ - } ) $$
    $$ {\mathscr{H}} = \hbar \omega (\eta_{ + }^{\dag } \eta_{ + } + \eta_{ - }^{\dag } \eta_{ - } + 1){\mkern 1mu} . $$
     
  3. c)

    Per questo sistema il momento angolare ha solo componente lungo l’asse z. Poichè

    $$ q_{x} = \sqrt {\frac{\hbar }{2m\omega }} (a_{x} + a_{x}^{\dag } )\;\;\;\;\;p_{x} = \frac{1}{i}\sqrt {\frac{\hbar m\omega }{2}} (a_{x} - a_{x}^{\dag } ){\mkern 1mu} , $$
    abbiamo
    $$ L = q_{x} p_{y} - q_{y} p_{x} = \frac{\hbar }{2i}\left[ {(a_{x} + a_{x}^{\dag } )(a_{y} - a_{y}^{\dag } ) - (a_{y} + a_{y}^{\dag } )(a_{x} - a_{x}^{\dag } )} \right] = \, = \frac{\hbar }{i}\left[ {a_{x}^{\dag } a_{y} - a_{x} a_{y}^{\dag } } \right]{\mkern 1mu} . $$

    In linea di principio dovrebbe essere possibile trovare un set di autostati comuni ad \( {\mathcal{H}} \) ed L poiché si dimostra facilmente che i due operatori commutano. Ci limitiamo tuttavia a studiare, come richiesto, gli elementi di matrice di L nei sottospazi relativi a ciascun autovalore dell’energia, cio`e a n fissato. Si ottiene

    $$ \langle k^{\prime},n - k^{\prime}|L|k,n - k\rangle = \frac{\hbar }{i}\left( {\sqrt {(k + 1)(n - k)} {\mkern 1mu} \delta_{{k^{\prime},k + 1}} - \sqrt {k(n - k + 1)} {\mkern 1mu} \delta_{{k^{\prime},k - 1}} } \right), $$

    Con K = 0,1,…,n. Si vede subito che gli elementi diagonali, cioè i valori di aspettazione di L negli autostati dell’energia che abbiamo trovato, sono nulli. In questi autostati accade quindi o che = 0, oppure che sono presenti combinazioni di edi – che si compensano.

    In ciascun sottospazio relativo ad un valore E n la matrice di L ha questa forma:
    $$ L_{{k^{\prime},k}}^{(n)} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & {\sqrt n } & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ { - \sqrt n } & 0 & {\sqrt {2(n - 1)} } & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & { - \sqrt {2(n - 1)} } & 0 & {\sqrt {3(n - 2)} } & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & { - \sqrt {3(n - 2)} } & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & {\sqrt n } \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & { - \sqrt n } & {0 \, } \\ \end{array} } \right){\mkern 1mu} . $$
    L (n) è tridiagonale, antisimmetrica rispetto alla diagonale principale, simmetrica rispetto a quella opposta. Si può dimostrare in generale che il numero quantico è soggetto alla condizione:
    $$ \ell = - n, - n + 2, \ldots ,n - 2,n{\mkern 1mu} . $$
    Si possono facilmente calcolare gli autovalori per i primi valori di n:
    $$ \begin{array}{*{20}l} {{\text{per }}n{ = 0,}} \hfill & {\ell = 0} \hfill \\ {{\text{per }}n{ = 1,}} \hfill & {\ell = \pm 1} \hfill \\ {{\text{per }}n{ = 2,}} \hfill & {\ell = 0, \pm 2} \hfill \\ {{\text{per }}n{ = 3},} \hfill & {\ell = \pm 1, \pm 3.} \hfill \\ \end{array} $$
     

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Copyright information

© Springer-Verlag Italia S.r.l. 2018

Authors and Affiliations

  1. 1.Bari UniversityBariItaly

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