Sommario
1.1 Commutatori e spettro
Dati tre operatori A,B,C, dimostrare che se [A,B] = [A,C] = 0, ma [B,C] ≠ 0, lo spettro di A è degenere.
Soluzione
Supponiamo per assurdo che tutti gli autovalori di A siano non degeneri, cioè che, per ogni autovalore a di A, esista un solo stato |ψ a 〉 tale che
Se questo è vero, ciascuno stato |ψ a 〉 deve essere anche autostato di B e C dato che A,B,C sono compatibili. Possiamo etichettare quindi lo stato |ψ a 〉 anche con gli autovalori corrispondenti di B e C:
dove ovviamente per ogni a fissato, b e c sono unici. Per ogni generico stato |ψ a 〉 risulta:
risultato in contrasto con l’ipotesi [B,C] ≠ 0.
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Angelini, L. (2018). Operatori e funzioni d’onda. In: Meccanica Quantistica. UNITEXT for Physics. Springer, Milano. https://doi.org/10.1007/978-88-470-3966-7_1
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Publisher Name: Springer, Milano
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