Fondamenti della matematica

Estratto

Proprio nel periodo in cui Cantor metteva le prime pietre della teoria degli insiemi, i numeri reali stessi dai quali aveva avuto origine la nuova teoria erano a loro volta definiti (intorno al 1872) a partire dai razionali, con il contributo di diversi matematici, a incominciare da Karl Weierstrass (1825–1897); le definizioni di maggiore successo furono quelle delle successioni di Cauchy (Cantor) e delle sezioni (Dedekind). I reali nascevano con operazioni insiemistiche sui razionali, i quali a loro volta erano definibili dagli interi, e questi dai naturali, sempre con nozioni e operazioni insiemistiche (coppie ordinate, classi di equivalenza). Di particolare importanza è la definizione di Dedekind, che usa solo sottoinsiemi dei razionali, mentre quella di Cantor richiede la nozione di successione, che coinvolge numeri naturali e funzioni, ed è quindi un po’ più indiretta.