Sistemi in 2D e 3D e Momento angolare

Riassunto

Un oscillatore armonico piano ha come Hamiltoniano

$$ H = \frac{1} {{2m}}\left( {p_x^2 + p_y^2 } \right) + \frac{1} {2}m\omega ^2 \left( {q_x^2 + q_y^2 } \right). $$

• a) Si dica quali sono i livelli energetici e la loro degenerazione;

• b) si scriva l’Hamiltoniano in termini degli operatori

  $$ \eta + = \frac{1} {{\sqrt 2 }}\left( {a_x + ia_y } \right) \eta - = \frac{1} {{\sqrt 2 }}\left( {a_x + ia_y } \right) $$

  con

  $$ a_x = \sqrt {\frac{{m\omega }} {{2\hbar }}} q_x + i\sqrt {\frac{1} {{2m\omega \hbar }}} p_x a_y = \sqrt {\frac{{m\omega }} {{2\hbar }}} q_y + i\sqrt {\frac{1} {{2m\omega \hbar }}} p_y $$

  e dei loro hermitiano coniugati;

• c) si scriva l’operatore momento angolare per questo problema; cosa si puo dire sul momento angolare a fissato livello di energia?