Misure con segno

Riassunto

Dato (X, ℰ, μ) uno spazio di misura e ρ ∈ L ¹(X, μ), l’integrale indefinito di Lebesgue

$$ v\left( E \right) = \int {_E } \rho d\mu $$

(1)

definisce una funzione di insieme σ-additiva, ossia, se E è unione numerabile

$$ E = \mathop \cup \limits_n E_n $$

(2)

di insiemi disgiunti E _n ∈ ℰ, allora

$$ v\left( E \right) = \sum\limits_n {v\left( {E_n } \right)} . $$

(3)

Pertanto, se ρ ≥ 0, allora ν è una misura finita su ℰ che verifica

$$ E \in \mathcal{E}\& \mu \left( E \right) = 0 \Rightarrow v\left( E \right) = 0. $$

(4)

È naturale chiedersi se tutte le misure finite ν su ℰ che verificano la (8.2) si possono rappresentare mediante un integrale indefinito della forma (8.1). Il Teorema di Radon-Nikodym, sotto opportune ipotesi, dà una risposta affermativa a questa domanda. La dimostrazione che forniremo è basata sulla decomposizione di Lebesgue, che consente di scrivere una misura ν come somma di due misure, una assolutamente continua e una singolare rispetto a μ, nel senso della successiva Definizione 8.1.