Spazi di misura

Riassunto

Il concetto di misura di un insieme nasce dalla nozione classica di volume di un intervallo in ℝ^N. Partendo da questa nozione, mediante un processo di ricoprimento, è possibile associare a un generico insieme un numero non negativo che ne ‘quantifichi l’estensione’. Tale associazione conduce alla definizione di una funzione di insieme, detta misura esterna, definita sulle parti di ℝ^N. La misura esterna è monotona, ma non additiva. Seguendo il metodo di Carathéodory, è poi possibile selezionare una sottoclasse di insiemi su cui la misura esterna ha ulteriori proprietà, in particolare è numerabilmente additiva; restringendo la misura esterna a questa sottoclasse si ottiene una misura completa. Questo procedimento porta alla costruzione della misura di Lebesgue in ℝ^N. La classe degli insiemi misurabili secondo Lebesgue è molto vasta: gli esempi di insiemi non misurabili sono ottenuti in maniera indiretta e non costruttiva.