Estratto
Dopo aver preso in esame la definizione stessa di problema ed alcune implicazioni significative di tale definizione, in questo capitolo possiamo finalmente riprendere le riflessioni sul problem solving che avevamo lasciato in sospeso.
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D’altra parte Polya in Come risolvere i problemi di matematica fa esplicito riferimento a Köhler e Duncker. Egli scrive: “L’autore desidera esprimere la sua gratitudine ad alcuni scienziati moderni non nominati nell’articolo Euristica. Si tratta del fisico e filosofo Ernst Mach, del matematico Jacques Hadamard, degli psicologi William James e Wolfgang Köhler. L’autore vuole pure nominare lo psicologo K. Duncker e il matematico F. Krauss nei cui lavori (pubblicati quando il presente volume era già ultimato e parzialmente pubblicato) ha notato qualche concordanza di esposizione” (Polya, 1945, tr. it. p.138). Nel suo lavoro successivo La scoperta matematica (1962) egli cita esplicitamente le ricerche di Köhler sui comportamenti intelligenti delle scimmie ed alcune osservazioni di Duncker.
Come sottolinea Polya (1962) il termine soluzione peraltro è ambiguo: a volte viene usato ad indicare un ‘oggetto’ che soddisfa alle condizioni del problema, altre il procedimento con cui tale oggetto viene trovato. In altre parole a volte è inteso come prodotto, altre come processo (ad esempio nella citazione di Duncker). In contesto scolastico a volte si usa ‘risoluzione’ per indicare il processo, e’ soluzione’ per indicare il prodotto.
L’analisi mezzi-fini comprende: il confronto dello stato attuale con lo stato finale e l’individuazione di differenze (se non ci sono, il problema è risolto); l’individuazione e poi l’applicazione di un operatore che possa ridurre tali differenze; di nuovo il confronto fra stato attuale e stato finale, e così via, in modo ricorsivo. La strategia hill-climbing (scalare una montagna) appoggia sull’importanza della verifica dei progressi fatti, del fatto che ci si sta avvicinando alla meta. Simon e Newell (1971) la spiegano così:“Nel salire una (non troppo ripida) montagna, una buona regola euristica consiste nell’andare sempre verso l’alto. Se un particolare punto è più in alto, raggiungerlo rappresenta probabilmente un progresso verso la cima. Il tempo richiesto per raggiungere la sommità dipenderà dall’altezza della montagna e dal suo pendìo, ma non dalla sua circonferenza nè dalla sua area-non dall’ampiezza dello spazio totale del problema” (Simon e Newell, 1971, tr. it. p.119).
Non a caso queste euristiche sono utilizzate anche nel contesto del problem posing, all’interno della strategia denominata “What-If-Not”. Nel testo The Art of Problem Posing (Brown e Walter, 1983) è illustrato proprio il processo di formulazione di nuovi problemi a partire dal problema del triangolo e del quadrato, attraverso l’applicazione delle euristiche che abbiamo esaminato.
Come tutte le schematizzazioni anche questa mette in luce alcuni aspetti ma ne lascia in ombra altri, comunque importanti. Il diagramma proposto da Schoenfeld non tiene sufficientemente conto a mio parere della riformulazione del problema, che costituisce in genere un progresso all’interno del processo risolutivo: nell’individuazione dei vari episodi questo progresso invece non emerge, perché non si mette in luce a quale problema (quello originale, o quello/i riformulato/i) gli episodi fanno riferimento (Tonelli e Zan, 1995).
A questo proposito Gardner (1991) parla invece di copioni, di conoscenze ingenue, di teorie ingenue. D’altra parte come abbiamo già osservato nel caso dei misconcetti uno stesso fenomeno può essere descritto da ricercatori diversi facendo riferimento a termini, costrutti, quadri teorici diversi.
A tali proprietà fanno riferimento anche alcuni ricercatori per risolvere lo spinoso problema della differenza fra conoscenza e convinzioni, su cui qui non ci soffermeremo. Il problema, tuttora aperto, è affrontato in diversi modi. Secondo alcuni (Ponte, 1994) non c’è distinzione fra convinzioni e conoscenza: le convinzioni sono parte della conoscenza, addirittura tutta la nostra conoscenza poggia in definitiva su convinzioni che hanno il ruolo di proposizioni non dimostrate. Altri invece affrontano la questione indirettamente, confrontando le caratteristiche della conoscenza con quelle delle convinzioni, e facendo riferimento per questo proprio alla struttura dei sistemi di convinzioni (Törner e Pehkonen, 1996).
Anche al di fuori del problem solving ci sono diversi tentativi di caratterizzare le convinzioni e di categorizzarle: si veda ad esempio il volume Beliefs: A Hidden Variable in Mathematics Education?, a cura di Gilah Leder, Erkki Pehkonen e Günter Törner (2002).
Su questi aspetti rimando a Furinghetti (2002).
Rinvio il lettore interessato al tema della responsabilità al testo Psicologia sociale della responsabilità, di Adriano Zamperini (1998).
Poincaré e Hadamard, riconoscendo all’emozione estetica il ruolo di guida nei processi di scoperta in campo matematico, ne ‘difendono’ l’importanza sottolineandone l’efficacia. In questo senso forse la difesa più ‘pura’ del ruolo dell’emozione estetica nella matematica (in quanto assolutamente sganciata da valutazioni di tipo utilitaristico) è quella che Godfrey Hardy (1940) sostiene con forza nel suo Apologia di un matematico: “Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle; le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La bellezza è il requisito fondamentale: al mondo non c’è un posto perenne per la matematica brutta” (Hardy, 1940, tr. it. p. 67).
Tutto il libro di Polanyi è dedicato al ruolo delle emozioni nella conoscenza. In particolare egli sottolinea che il processo di conoscenza è comunque personale, fortemente intriso delle passioni dell’individuo:“Ho mostrato che in ogni atto di conoscenza entra un contributo appassionato della persona che conosce ciò che viene conosciuto, e che questa componente non è un’imperfezione bensì un fattore vitale della conoscenza” (Polanyi, 1958, tr. it. p. 70).
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(2007). Problem solving. In: Difficoltà in matematica. Convergenze. Springer, Milano. https://doi.org/10.1007/978-88-470-0584-6_6
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