Eigenwertprobleme für den Laplace—Operator

Auszug

Auf das Dirichletsche Eigenwertproblem für den Laplace-Operator auf einem beschränkten Gebiet Ω ⊂ ℝⁿ,

$$ - \Delta v = \lambda v in \Omega , v = 0 auf \partial \Omega $$

(D)

werden wir u.a. durch den Produktansatz u(x, t) = a(t) v (x) für das Anfangswertproblem der Wellengleichung

geführt. Wie bei den Separationsansätzen für den Fall n = 1 spaltet sich dieses Problem auf in das Eigenwertproblem (D) und die gewöhnliche Differentialgleichung

$$ \ddot a(t) + c^2 \lambda a(t) = 0. $$