Autonome lineare Systeme

Auszug

Ein autonomes lineares Anfangswertproblem hat die Form ẋ=Ax +b, x(0)=ξ, wobei die Koeffizienten-Matrix A und die Inhomogenität b nicht von t abhängen. Im skalaren (d.h. ein-dimensionalen) Fall können wir die Lösung leicht hinschreiben: φ_ξ(t=(ξ +A⁻¹b)e^At − A⁻¹b. Wir zeigen in diesem Kapitel, dass das für höhere Dimensionen im Prinzip genauso geht. Man muss nur die Exponentialfunktion auf N × N-Matrizen anwenden. Wir können uns auf den homogenen Fall b = 0 beschränken, da sich bei konstanten Koeffizienten die Variation-der-Konstanten-Formel aus Satz 5.5 ohne Probleme auswerten läßt.