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Normalformen von Matrizen

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Auszug

Wir beginnen dieses Kapitel mit der Einführung von Polynomen. Die arithmetischen Eigenschaften des Polynomrings K[x] sind entscheidend für die späteren Untersuchungen. In 5.2 führen wir den Idealbegriff ein, welcher übersichtliche Beweise gestattet. Für Hauptidealringe, wie etwa K[x] oder auch $#2124;, entwickeln wir in 5.3 eine ausführliche Theorie. Die Begriffe grüßter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches und Primfaktorzerlegung erhalten hier ihre systematische Fundierung. Abschnit 5.4 über das charakteristische Polynom und Eigenwerte ist der erste Schritt zu einem genauen Studium von linearen Abbildungen. In physikalischen und technischen Anwendungen sind Eigenwerte unerläßlich, werden doch die Frequenzen schwingungsfähiger Systeme in Mechanik und Elektrodynamik als Eigenwerte von Matrizen ermittelt. Wir kommen darauf in 8.5 zurück. Kaum weniger wichtig ist die in 5.5 entwickelte Theorie des Minimalpolynoms, denn sie liefert Kriterien für die Diagonalisierbarkeit von Matrizen. In 5.6 beweisen wir den Hauptsatz über endlich erzeugbare Moduln über Hauptidealringen. Neben dem Hauptsatz über endlich erzeugbare abelsche Gruppen liefert dies in 5.7 die Jordansche Normalform von linearen Abbildungen. Dies bringt die Theorie der linearen Abbildungen zu einem gewissen Abschluß, und liefert die Grundlage für zahlreiche spätere Anwendungen.

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© B.G.Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006

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