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Vektorräume

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Auszug

Der Vektorraum ist einer der zentralen Begriffe der Linearen Algebra. Da wir viele Anwendungen, insbesondere aus der Diskreten Mathematik, im Auge haben, betrachten wir nicht nur reelle Vektorräume, sondern solche über beliebigen Körpern. Dies erfordert, daß wir näher auf algebraische Grundstrukturen eingehen. Wir beginnen mit dem Gruppenbegriff. In erster Linie führen wir dabei eine Sprache ein, die später prägnante Formulierungen erlaubt. Es folgt der Ring- und Körperbegriff. Als Anwendung des Rings der ganz rationalen Zahlen modulo n besprechen wir das RSA-Verfahren aus der Kryptographie, das eine Datenübertragung gegen unerlaubten Zugriff seitens Dritter sichert. Den reellen Zahlkörper setzen wir im folgenden stets als bekannt voraus. Seine feineren Eigenschaften, die in der Analysis behandelt werden, spielen zunächst keine Rolle. Eingehend behandeln wir jedoch den komplexen Zahlkörper und beweisen einf achste Eigenschaften von endlichen Körpern. Neben Anwendungen in der Zahlentheorie spielen endliche Körper in der Codierungstheorie eine wichtige Rolle. Schließlich finden auch die Rechenoperationen in Computern in Körpern mit zwei Elementen statt. Wir entwickeln dann die Grundzüge der Theorie der Vektorräume zunächst ohne Dimensionsbeschränkung, konzentrieren uns jedoch sehr schnell auf die endlich dimensionalen Vektorräume, die der zentrale Gegenstand der Linearen Algebra sind. Als erste Anwendung behandeln wir Rekursionsgleichungen, auf die wir an späteren Stellen zurückgreifen werden, etwa bei den stochastischen Matrizen. Das Kapitel schließt mit dem Faktorraum, einer recht abstrakten Konstruktion, deren Nutzen sich im Laufe der Zeit erweisen wird.

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© B.G.Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006

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