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Zukunftsorientierte Schätzung von Betafaktoren

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Auszug

Der Betafaktor stellt ein Maß für das relative Risiko eines riskanten Wertpapiers (z.B. einer Aktie) in Bezug auf das Risiko des Marktportfolios dar und bestimmt sich aus dem Verhältnis zwischen der Kovarianz zwischen der unsicheren zukünftigen Rendite der Aktie und der unsicheren zukünftigen Rendite des Marktportfolios zur Varianz der Rendite des Marktportfolios.356 Die Schätzung des Betafaktors einer kapitalmarktgehandelten Aktie erfolgt üblicherweise durch eine einfache lineare Regression der historisch beobachteten Renditen des riskanten Wertpapiers (erklärte Variable) und der Renditen des Marktportfolios bzw. eines repräsentativen Marktindexes (erklärende Variable). Neben den Schwierigkeiten, die mit der Durchführung einer Regression der historischen Zeitreihen der Aktien- und Indexrenditen verbunden sind, ist offensichtlich, dass ein auf der Grundlage historischer Renditen geschätzter Betafaktor die aktuellen Erwartungen der Kapitalmarktteilnehmer bezüglich des (zukünftigen) systematischen Risikos eines Wertpapiers bestenfalls zufällig widerspiegelt. Nicht zuletzt können die zahlreichen Ermessensspielräume, z.B. bei der Wahl der Länge der historischen Zeitreihe oder der Wahl der Intervalllänge der Renditen, erheblichen Einfluss auf das Ergebnis der Schätzung nehmen.

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Literatur

  1. 357.
    Vgl. zur Schätzung von Betafaktoren z.B. Bemer /Rojahn /Kiel /Dreimann (2005), S. 713–716; Poddig/Dichtl/Petersmeier (2000), S. 256–258; Zimmermann (1997), S. 56–70. Da für nicht gehandelte riskante Wertpapiere keine historischen Renditen beobachtbar sind, kann eine Schätzung des Betafaktors zumeist lediglich aus Zusammenhängen zwischen den Renditen des Marktindexes und ausgewählten fundamentalen Kennzahlen des Unternehmens (z.B. rechnungslegungsbasierte Profitabilitätskennzahlen) abgeleitet werden. Vgl. hierzu die Ausführungen zur Schätzung von Betafaktoren nicht gehandelter Unternehmenssegmente bei Nowak (2003), S. 97–117.Google Scholar
  2. 358.
    Vgl. z.B. Nowak (2003), S. 89.Google Scholar
  3. 359.
    Vgl. ausführlich Zimmermann (1997), S. 79–153; Nowak (2003), S. 93–97; Pratt (1998), S. 82.Google Scholar
  4. 362.
    Vgl. z. B. Hartmann-Wendels/ Pfmgsten/ Weber (2004), S. 275; Oehler/Unser (2001), S. 17–18. Eine gesetzliche Definition von Derivaten findet sich z.B. in § 2 Abs. 2 und 2a WpHG.Google Scholar
  5. 363.
    Vgl. Rudolph/ Schäfer (2005), S. 15; Franke/Hax (2004), S. 367; Bank/Gerke (2005), S. 357.Google Scholar
  6. 364.
    Vgl. Hartmann-Wendels/ Pfingsten/ Weber (2004), S. 276; Rudolph/Schäfer (2005), S. 14.Google Scholar
  7. 365.
    Vgl. z. B. Bodie/ Merton (2000), S. 383–384; Smithson/Smith/Wilford (1995), S. 288–289.Google Scholar
  8. 366.
    Vgl. z. B. Stemer/ Bruns (2000), S. 293–294; Uhlir/Sièvi (1990), S. 84–85.Google Scholar
  9. 367.
    Vgl. Black (1976), S. 172; Steiner/Wallmeier (1999), S. 709–710; Ballwieser (2001), S. 23; zum Emfluss der Wahl des Marktindexes auf die Schätzung von Betafaktoren vgl. z.B. Zimmermann (1997), S. 93–97; Nowak (2003), S. 95.Google Scholar
  10. 369.
    Siehe Kapitel 2.4.2. Die Existenz einer risikolosen Anlagemöglichkeit ist hingegen nicht für die Erarbeitung aller Preisgrenzen erforderlich. Zudem wird auf eine vollständige Darstellung aller Preisgrenzen für Optionen verzichtet. Stattdessen werden lediglich die für die weitere Untersuchung erforderlichen Preisgrenzen erläutert. Eine umfassende Darstellung der Preisgrenzen findet sich z. B. bei Smith (1976), S. 6–14.Google Scholar
  11. 371.
    Vgl. Cox/ Rubinstein (1985), S. 3; Sandmann (2001), S. 4.Google Scholar
  12. 372.
    Als Optionsinhaber wird der Käufer der Option bezeichnet, der aus der Option lediglich das Recht, nicht aber die Pflicht zur Ausübung hat. Der Verkäufer der Option (Stillhalter) hat dagegen die Pflicht auf Verlangen des Optionsinhabers die Option zu erfüllen, d.h. den Basiswert gegen Erhalt des vereinbarten Ausübungspreises zu liefern (Call) oder gegen Zahlung des vereinbarten Ausübungspreises zu kaufen (Put). Vgl. z.B. Uhhr/ Sièvi(1990), S. 85.Google Scholar
  13. 373.
    Vgl. Franke/ Hax (2004), S. 367.Google Scholar
  14. 374.
    Vgl. Merton (1973), S. 143–144.Google Scholar
  15. 375.
    Vgl. Cox/ Rubinstein (1985), S. 3; Sandmann (2001), S. 4.Google Scholar
  16. 376.
    Vgl. Franke/ Hax (2004), S. 367.Google Scholar
  17. 377.
    Vgl. Merton (1973), S. 157; Brennan/Schwartz (1977), S. 450.Google Scholar
  18. 378.
    Vgl. Stoll/ Whaley (1993), S. 175.Google Scholar
  19. 379.
    Vgl. Sandmann (2001), S. 39–40; Haugen (2001), S. 447–448. Dabei wird in (4.6) von der Zahlung einer Dividende zwischen t und T abgesehen. Zu einer Erweiterung der Put-Call-Parität um die Zahlung von Dividenden vgl. Rudolph/Schäfer (2005), S. 226–227.Google Scholar
  20. 380.
    Vgl. z. B. Cox/ Ross/ Rubinstein (1979), S. 229–263; Haugen (2001), S. 430–438; Clewlow/Strickland (1998), S. 10–51.Google Scholar
  21. 381.
    Als realitätsfern könnte z.B. im Binomialmodell angesehen werden, dass bei einer Periodenlänge Δt von einem Tag das Wertpapier nur einmal am Tag gehandelt wird und der Preis des Wertpapiers nur zwei mögliche Werte annehmen könnte. Vgl. Cox/ Ross/ Rubmstein (1979), S. 246.Google Scholar
  22. 382.
    Vgl. Cox/ Ross/ Rubmstein (1979), S. 246–255; Stemer/Uhlir (2001), S. 244–247.Google Scholar
  23. 384.
    Zu beachten ist, dass auch diese Modellierung kein exaktes Bild der Realität darstellt, da ein zeitstetiger Wertpapierhandel bestenfalls zu den Börsenhandelszeiten stattfinden könnte und der Preis eines Wertpapiers, z.B. eines Aktienkurses, in ganzen Cent-Beträgen festgestellt wird. Vgl. die Bemerkungen bei Hull (2003), S. 216.Google Scholar
  24. 385.
    Vgl. Deutsch (2004), S. 32–33; Bank/Gerke (2005), S. 207.Google Scholar
  25. 386.
    Ein Wiener Prozess verfügt somit über die sog. Markov-Eigenschaft, d.h. er weist ein gewisses „Vergesslichkeitsverhalten“ auf. Die Markov-Eigenschaft besagt, dass für den weiteren Fortgang eines sog. Markov-Prozesses ausschließlich der aktuelle Zustand relevant ist. Der in der Vergangenheit realisierte Pfad ist hierfür bedeutungslos. Die Markov-Eigenschaft ist daher mit der schwachen Informationseffizienz des Kapitalmarkts vereinbar. Vgl. z. B. Füser (1994), S. 27–34; Deutsch (2004), S. 29; Wilmott (1998), S. 56–57.Google Scholar
  26. 387.
    Vgl. Sandmann (2001), S. 250–251.Google Scholar
  27. 388.
    Vgl. Deutsch (2004), S. 33.Google Scholar
  28. 389.
    Allerdings können die Parameter a und b u.a. auch vom aktuellen Wert der Prozessvariablen und vom aktuellen Zeitpunkt selbst abhängig sein. Vgl. z. B. Branger/ Schlag (2004), S. 108–109.Google Scholar
  29. 391.
    Vgl. z. B. Hull (2003), S. 223.Google Scholar
  30. 392.
    Vgl. z. B. Clewlow/ Stnckland (1998), S. 3–4.Google Scholar
  31. 394.
    Umgekehrt kann mit dem Lemma von Itô auch überprüft werden, ob ein bestimmter Prozess die Lösung einer gegebenen stochastischen Differentialgleichung ist. Vgl. Sandmann (2001), S. 266.Google Scholar
  32. 396.
    Vgl. zum Lemma von Itô allgemein z. B. Sandmann (2001), S. 264–266; Branger/Schlag (2004), S. 111–113; Duffie (1988), S. 16–17, 20–22; Neftci (2000), S. 230–248; Baxter/Renme (1996), S. 57–62.Google Scholar
  33. 398.
    Vgl. Black/ Scholes (1973), S. 640; ausführlich auch Smith (1976), S. 4.Google Scholar
  34. 399.
    Auf die Angabe eines Zeitindexes für den stetigen risikofreien Zinssatz wird verzichtet, da es sich annahmegemäß um die stetige Verzinsung der risikofreien Anlage über den Zeitraum [0,T], d.h. bis zum Ende der Laufzeit der Option, handelt und der risikolose Zinssatz über diesen Zeitraum als konstant unterstellt wird. Alle Kapitalmarktteilnehmer können zu diesem Zinssatz unbegrenzt Geld anlegen oder aufnehmen. Vgl. Whaley (1982), S. 30.Google Scholar
  35. 402.
    Vgl. auch Merton (1973), S. 151.Google Scholar
  36. 403.
    Zweifellos hängt der Preis des Calls auch von der Höhe des Ausübungspreises, des risikofreien Zinssatzes und der Volatilität der Rendite des Basiswerts ab. Allerdings sind diese Größen entweder vertraglich vereinbart (siehe Kapitel 4.2.1) und unterliegen daher keinen Schwankungen im Zeitablauf oder sind per Annahme des BS-Modells über die Laufzeit der Option konstant (z.B. Volatilität). Vgl. Black/ Scholes (1973), S. 641.Google Scholar
  37. 404.
    Vgl. Merton (1973), S. 160; Clewlow/Strickland (1998), S. 4–6.Google Scholar
  38. 405.
    Black/ Scholes (1973) bilden das risikolose Portfolio mit einer Aktie und einer bestimmten Anzahl an verkauften Calls (short-Position). Insoweit weicht die hier aus Gründen einer besseren anschaulicheren Darstellung vorgenommene Vorgehensweise geringfügig von der Vorgehensweise von Black/Scholes (1973) ab. Vgl. Black/Scholes (1973), S. 641–643. Dies ist indes unkritisch, da beide Vorgehensweisen zu demselben Ergebnis gelangen.Google Scholar
  39. 406.
    Vgl. Bergman (1985), S. 231–235. Der Portfoliowert Yt ergibt sich aus (4.18) unter Verwendung von h, wobei im Fall des risikolosen Portfolios h = dC/dS gilt.Google Scholar
  40. 407.
    Vgl. Whaley (1982), S. 35. Auf eine Darstellung des Lösungswegs der partiellen Differentialgleichung (4.22) wird verzichtet und diesbezüglich z.B. auf Kutner (1988), S. 98–103 verwiesen.Google Scholar
  41. 408.
    Vgl. Merton (1973), S. 160–161; Whaley (1982), S. 30; Keiber (2004), S. 429.Google Scholar
  42. 409.
    Vgl. Hull (2003), S. 246; Bodie/Merton (2000), S. 400; Cox/Rubinstein (1985), S. 211.Google Scholar
  43. 410.
    Merton (1973), S. 161 (Hervorhebungen im Original). Vgl. auch Smith (1976), S. 4.Google Scholar
  44. 411.
    Vgl. für die in Deutschland börsengehandelten Aktienoptionen EUREX (2006), S. 22.Google Scholar
  45. 412.
    Siehe Annahme AM 8, Kapitel 4.3.1. Vgl. kritisch Whaley (1982), S. 29.Google Scholar
  46. 413.
    Da im BS-Modell von Steuern abstrahiert wird (siehe Annahme AM-2, Kapitel 2.4.2.1.1), ist ein Dividendenabschlag in Höhe der Dividende vorzunehmen. Vgl. Steiner/ Uhlir (2001), S. 255.Google Scholar
  47. 414.
    Vgl. Geske (1978), S. 618; Whaley (1982), S. 31.Google Scholar
  48. 415.
    Vgl. zu einer ausführlichen Diskussion z. B. Merton (1973), S. 151–154.Google Scholar
  49. 416.
    Der Wert einer Option mit perfektem Dividendenschutz ist definitionsgemäß von der Höhe der Dividende unabhängig und kann daher so bewertet werden, als handele es sich um eine Option auf eine dividendenlose Aktie. In diesem Fall können die Bewertungsgleichungen des BS-Modells uneingeschränkt angewendet werden. Zu beachten ist allerdings, dass die entsprechende Schutzmaßnahme, z.B. eine Anpassung des Ausübungspreises, in den Bewertungsgleichungen berücksichtigt werden muss. Vgl. z. B. Steiner/ Bruns (2000), S. 330–331.Google Scholar
  50. 417.
    Vgl. hierzu exemplarisch die Kontraktspezifikationen der Terminbörse Eurex mit den entsprechenden Schutzmaßnahmen in EUREX (2006), S. 43–46.Google Scholar
  51. 418.
    Vgl. EUREX (2006), S. 43. Ausgenommen hiervon sind jedoch „außergewöhnlich hohe Dividenden, Boni oder sonstige Barausschüttungen“, für die ebenfalls Schutzmaßnahmen vorgesehen sind. EUREX (2006), S.43. 123Google Scholar
  52. 420.
    Vgl. Stemer/ Uhlir (2001), S. 268, Fn. 1.Google Scholar
  53. 421.
    Vgl. Hull (2003), S. 253; Haug (1997), S. 3.Google Scholar
  54. 422.
    Vgl. Whaley (1982), S. 31; Rudolph/Schäfer (2005), S. 302.Google Scholar
  55. 423.
    Wiederum kann sich nur der nach Dividendenkorrektur verbleibende Teil der Aktienkursentwicklung stochastisch verhalten. Vgl. mit einem Beispiel Steiner/Uhlir (2001), S. 256.Google Scholar
  56. 424.
    Vgl. Stemer/ Uhlir(2001), S. 256.Google Scholar
  57. 425.
    Vgl. Merton (1973), S. 170–173. Obwohl diese Annahme durch die in der Vergangenheit realisierten Dividendenrenditen vermutlich nicht bestätigt werden könnte, kann diese Annahme zumindest für Optionen mit kurzer Restlaufzeit als gute Approximation angesehen werden. Vgl. Geske(1978), S. 618–619.Google Scholar
  58. 427.
    Vgl. Merton (1973), S. 170–173; Wilmott (1998), S. 77.Google Scholar
  59. 429.
    Vgl. Hull (2003), S. 268.Google Scholar
  60. 430.
    Vgl. Haug (1997), S. 7; Corrado/Miller (1996), S. 596. Zur Bewertung von Optionen auf Futures gilt b=0, vgl. Black (1976), S. 176–178. Bei der Bewertung von Optionen auf eine Fremdwährung stellt b die Zinsdifferenz zwischen dem risikolosen Zinssatz und dem risikolosen Zinssatz in der betreffenden Fremdwährung dar, vgl. Garman/Kohlhagen (1983), S. 231–237.Google Scholar
  61. 432.
    Die gesamte Aktienrendite umfasst dabei sowohl die Renditebestandteile aus der Zahlung von Dividenden als auch aus Kursänderungen. Im Modell von Merton (1973) ist aufgrund der stochastischen Entwicklung des Aktienkurses auch die absolute Höhe der Dividenden stochastisch, wobei eine konstante kontinuierliche Dividendenrendite einerseits eine vollkommen positive Korrelation zwischen beiden Größen bedeutet und andererseits impliziert, dass die Dividendenrendite mit der gesamten Aktienrendite unkorreliert ist.Google Scholar
  62. 433.
    Vgl. Geske(1978), S. 618–623.Google Scholar
  63. 434.
    Vgl. Geske(1978), S. 619–620.Google Scholar
  64. 435.
    Dieser Marktfaktor wird benötigt, da eine Lösung des Bewertungsproblems im Fall stochastischer Dividenden nicht unter Rückgriff auf ein risikoloses Portfolio gelingen kann. Der Grund hierfür ist, dass die stochastische Dividende „cannot be expressed as a nonstochastic function of the stock price and time.“ Geske(1978), S. 620. Mithin verwendet Geske(1978) em von Rubinstein (1976) erarbeitetes Modell zur Bewertung unsicherer Zahlung s ströme, wodurch der gesuchte Marktfaktor unter anderem von dem empirisch schwer zu bestimmenden Maß der durchschnittlichen Risiko avers ion abhängt.Google Scholar
  65. 436.
    Vgl. Geske(1978), S. 621–622.Google Scholar
  66. 437.
    Diesen — auch von Geske (1978), S. 622 — diskutierten Weg gehen offenbar Stemer/Uhlir (2001), die m ihren Ausführungen und Beispielrechnungen die Kovarianz zwischen der Dividendenrendite und dem betreffenden Marktfaktor nicht diskutieren. Vgl. Steiner/Uhlir (2001), S. 262–265.Google Scholar
  67. 438.
    Vgl. zur Korrektur des aktuellen Aktienkurses und zur Abhängigkeit der Optionspreise von der Kovarianz zwischen der stochastischen Dividendenrendite und der gesamten Aktienrendite z.B. Steiner/ Uhlir (2001), S. 264.Google Scholar
  68. 439.
    Infolgedessen wird auf eine explizite Diskussion des Modells verzichtet und bezüglich ausgewählter Beispielrechnungen auf Geske (1978), S. 622–623 verwiesen.Google Scholar
  69. 440.
    Vgl. für Indexoptionen EUREX (2006), S. 34 und für Aktienoptionen EUREX (2006), S. 22; allgemein Rudolph/Schäfer (2005), S. 222.Google Scholar
  70. 441.
    Siehe (4.43) und (4.44).Google Scholar
  71. 442.
    „It is important to know when this right has zero value, since in that case, the values of an European and American option are the same.“ Merton (1973), S. 144. Siehe auch Kapitel 4.2.1.Google Scholar
  72. 443.
    Vgl. Smith (1976), S. 8; siehe auch Kapitel 2.4.2.1.2.Google Scholar
  73. 444.
    Vgl. Merton (1973), S. 143, 158; Smith (1976), S. 8, 34.Google Scholar
  74. 445.
    Vgl. Merton (1973), S. 159–160.Google Scholar
  75. 447.
    Vgl. Smith (1976), S. 8, 31–32. Eine amerikanische Option kann auf einem arbitragefreien Kapitalmarkt nicht unter ihrem inneren Wert gehandelt werden, da andernfalls durch den Erwerb dieser Option und ihrer sofortigen Ausübung ein risikoloser Arbitragegewinn für jeden Investor realisierbar wäre.Google Scholar
  76. 448.
    Vgl. z. B. Hull (2003), S. 176; Smith (1976), S. 9–11.Google Scholar
  77. 449.
    Vgl. Merton (1973), S. 144–145; Rudolph/Schäfer (2005), S. 222. Mithin erhält der Optionsinhaber bei Verkauf des amerikanischen Calls auf eine dividendenlose Aktie stets eine höhere Zahlung als bei Ausübung des Calls.Google Scholar
  78. 450.
    Vgl. Uhhr/ Sièvi(1990), S. 91.Google Scholar
  79. 451.
    Vgl. zu einer Betrachtung mit konstanter stetiger Dividendenrendite (Typ II) Stoll/ Whaley (1993), S. 184–187.Google Scholar
  80. 452.
    Vgl. Uhlir/ Sièvi (1990), S. 91; Hull (2003), S. 179.Google Scholar
  81. 453.
    Vgl. Black (1975), S. 41–42; Whaley (1982), S. 31.Google Scholar
  82. 454.
    Dabei wird der Preis des amerikanischen Calls in den Preis eines europäischen Calls und den Preis des vorzeitigen Ausübungsrechts aufgeteilt und dann eine partielle Differentialgleichung für den Preis des vorzeitigen Ausübungsrechts unter vereinfachenden Annahmen abgeleitet. Vgl. ausführlich Barone-Adesi/ Whaley (1987), S. 305–307.Google Scholar
  83. 455.
    Vgl. Roll (1977), S. 251–258 mit einer Vereinfachung durch Geske (1978), S. 375–380 und Korrektur durch Whaley (1981), S. 207–211.Google Scholar
  84. 456.
    Vgl. Whaley (1982), S. 37.Google Scholar
  85. 458.
    Vgl. ähnlich Uhlir/ Sièvi (1990), S. 91.Google Scholar
  86. 459.
    Vgl. hierzu z. B. Rudolph/ Schäfer (2005), S. 223; mit graphischer Darstellung Hull (2003), S. 177–178.Google Scholar
  87. 460.
    Vgl. ausführlich Merton (1973), S. 159–160.Google Scholar
  88. 461.
    Indes kann gezeigt werden, dass eine vorzeitige Ausübung des amerikanischen Puts unmittelbar vor Zahlung der Dividende für einen rational handelnden Optionsinhaber nie vorteilhaft ist. Vgl. Brennan /Schwartz(1977), S. 451.Google Scholar
  89. 462.
    Vgl. Merton (1973), S. 160; Geske/Johnson (1984), S. 1511; Rudolph/Schäfer (2005), S. 223.Google Scholar
  90. 463.
    Vgl. Geske/ Johnson (1984).Google Scholar
  91. 464.
    Vgl. z. B. Bunch/ Johnson(1992).Google Scholar
  92. 465.
    Vgl. zu einem Überblick auch Uhlir/ Sièvi (1990), S. 88.Google Scholar
  93. 467.
    Vgl. Hull (2003), S. 330–331.Google Scholar
  94. 468.
    Vgl. zur Put-Call-Parität für amerikanische Optionen mit Berücksichtigung von Dividendenzahlungen z. B. Rudolph/ Schäfer (2005), S. 227–228.Google Scholar
  95. 469.
    Vgl. so z. B. Hull (2003), S. 331.Google Scholar
  96. 471.
    Vgl. Whaley (1982), S. 44.Google Scholar
  97. 473.
    Vgl. Latané/ Rendleman (1976), S. 369; Corrado/Miller (1996), S. 596; Whaley (1982), S. 33. Sind alle Variablen mit Ausnahme der Volatilität gegeben, können diese als feststehende Parameter des Optionspreises angesehen werden. Damit schafft das BSM-Modells einen direkten Zusammenhang zwischen dem Optionspreis und der Volatilität der Aktienrendite. Vgl. Mayhew (1995), S. 8.Google Scholar
  98. 474.
    Vgl. Manaster/ Koehler(1982), S. 227.Google Scholar
  99. 475.
    Zur Berücksichtigung der Dividendenzahlungen bei der Ermittlung der historischen Renditen, vgl. z. B. Hull (2003), S. 240–241. Da sich die folgenden Ausführungen stets nur auf eine bestimmte Aktie beziehen, wird auf eine explizite Indexierung der aktienbezogenen Variablen verzichtet.Google Scholar
  100. 476.
    Vgl. z. B. Canina/ Figlewski (1993), S. 661–662; Poddig/Dichtl/Petersmeier (2000), S. 62, 177–180.Google Scholar
  101. 477.
    Vgl. Poddig/ Dichtl/ Petersmeier (2000), S. 124; Schäfer (1997), S. 290; Wallmeier (2003), S. 151.Google Scholar
  102. 478.
    Vgl. Hull (2003), S. 239; Haug (1997), S. 166.Google Scholar
  103. 480.
    Vgl. Parkinson (1980), S. 64, der eine Schätzung der historischen Volatilität auf der Basis von Hoch-und Tiefkursen vorschlägt. Vgl. auch Garman/Klass (1980), S. 72–74, die ein Schätzverfahren unter Verwendung von Hoch-, Tief-und Schlusskursen der betreffenden Aktie vorschlagen. Zu empirischen Tests der verschiedenen Schätzverfahren vgl. z.B. Beckers (1983).Google Scholar
  104. 481.
    Vgl. z. B. Garman/ Klass (1980), S. 74–76. Zudem zeigen Marsh/Rosenfeld (1986), dass die mit Hilfe dieser Verfahren erstellte Schätzung der Volatilität u.a. sehr sensitiv auf einen unregelmäßigen Handel der Aktie reagiert. Vgl. Marsh/Rosenfeld (1986), S. 366–367.Google Scholar
  105. 482.
    Obwohl grundsätzlich eine beliebige Gewichtung der einzelnen Renditebeobachtungen vorgenommen werden kann, wird häufig vorgeschlagen, eine exponentielle Verringerung der Gewichte für die einzelnen Renditebobachtungen mit zunehmender zeitlicher Entfernung von dem Zeitpunkt, zu dem die Schätzung der zukünftigen Volatilität erfolgen soll, vorzunehmen. (Exponentially Weighted Moving Average, EWMA). Vgl. für einen Überblick Hull (2003), S. 373–375.Google Scholar
  106. 483.
    Vgl. Engle (1982); Bollerslev (1986); Wallmeier (2003), S. 152–153; mit Beispiel auch Hull (2003), S. 382–383.Google Scholar
  107. 484.
    Infolgedessen existieren in der Literatur Vorschläge zur Bewertung von Optionen auf riskante Wertpapiere bei stochastischer Volatilität. Vgl. z. B. Hull/ White (1987), zu einem Überblick auch Campbell/Lo/MacKinley (1997), S. 379–382.Google Scholar
  108. 485.
    Vgl. Brenner/ Galai (1984), S. 403.Google Scholar
  109. 486.
    Vgl. Campbell/ Lo/ MacKinley (1997), S. 378; Schäfer (1997), S. 290.Google Scholar
  110. 487.
    Vgl. Brenner/ Subrahmanyam (1988), S. 80. Mithin wird angenommen, „that investors behave as if they price options according to the Black and Scholes model.“ Latané/Rendleman (1976), S. 369–370.Google Scholar
  111. 488.
    Zwar wurde eine geschlossene Lösung zur Ermittlung der impliziten Volatilität bei Gültigkeit des BS-Modells erarbeitet; diese erfordert jedoch die Kenntnis der partiellen Ableitungen der Preisfunktion des Calls nach dem Aktienkurs und nach dem Ausübungspreis. Allerdings sind diese partiellen Ableitungen wiederum selbst von der impliziten Volatilität abhängig. Vgl. Lai/ Lee/ Tucker (1992); kritisch Chance (1993), S. 63, 64; Corrado/Miller(1996), S. 596, Fn. 1.Google Scholar
  112. 489.
    Vgl. Brenner/ Subrahmanyam (1988), S. 81; Chance (1993), S. 60. Obwohl die implizite Volatilität mit Hilfe eines numerischen Näherungsverfahren nicht exakt ermittelt werden kann, wird im Folgenden der Begriff der Ermittlung der impliziten Volatilität verwendet, da in Abhängigkeit des gewünschten Genauigkeitsmaßes eine hinreichend präzise Ermittlung vorgenommen werden kann.Google Scholar
  113. 490.
    Vgl. z. B. Campbell/ Lo/ MacKinley (1997), S. 377–378; Mayhew (1995), S. 8.Google Scholar
  114. 491.
    Vgl. auch Wilmott (1998), S. 109–111. Zu einem effizienten Startwert zur Ermittlung der impliziten Volatilität vgl. ausführlich Manaster/Koehler (1982), S. 228–229.Google Scholar
  115. 492.
    Das Vega einer Option wird in der Literatur häufig auch als Lambda bezeichnet. Vgl. z. B. Rudolph/ Schäfer (2005), S. 287–289.Google Scholar
  116. 493.
    Vgl. Manaster/ Koehler (1982), S. 228.Google Scholar
  117. 494.
    Vgl. Haug (1997), S. 169.Google Scholar
  118. 495.
    In empirischen Studien wird häufig auf 1/10.000-stel genau gerechnet. Vgl. z. B. Brenner/ Galai (1984), S. 406. Vgl. zu einem graphischen Beispiel Chriss (1997), S. 337–338.Google Scholar
  119. 497.
    Vgl. zur Ableitung des für Calls und Puts identischen Vegas z. B. Haug (1997), S. 13, 200; auch Cox/Rubmstem (1985), S. 221.Google Scholar
  120. 498.
    Vgl. Haug (1997), S. 196.Google Scholar
  121. 500.
    Vgl. Chriss (1997), S. 330–336; Haug (1997), S. 170–171.Google Scholar
  122. 501.
    Zu einem Ansatz zur Schätzung der impliziten Volatilität aus amerikanischen Optionen auf der Grundlage des Barone-Adesi-Whaley-Modells vgl. Kutner (1998), S. 121–122.Google Scholar
  123. 502.
    Vgl. Brenner/ Subrahmanyam(1988), S. 81–82.Google Scholar
  124. 503.
    Vgl. Brenner/ Subrahmanyam (1988), S. 81; Corrado/Miller (1996), S. 596; Chance (1996), S. 860.Google Scholar
  125. 504.
    Vgl. Brenner/ Subrahmanyam (1988), S. 83, Fn. 6.Google Scholar
  126. 505.
    Dies liegt häufig daran, dass auf einem real existierenden Kapitalmarkt nur Optionen mit bestimmten Ausübungspreisen gehandelt werden. Vgl. EUREX (2006), S. 37 zu den Ausübungspreisintervallen für Optionen an der EUREX. Alternativ schlagen Brenner/Subrahmanyam (1988) ein weiteres Vereinfachungsverfahren mit Hilfe einer Optionsposition bestehend aus einer Put-und einer Calloption (straddle) vor, deren Ausübungspreise unterschiedlich sind, aber nahe beieinander liegen. In diesem Fall kann (4.57) analog für den Preis des straddle angewendet und aufgelöst werden. Vgl. Brenner/Subrahmanyam (1988), S. 81; zu einer Analyse des Schätzfehlers des Brenner-Subrahmanyam-Verfahrens Chance (1993), S. 60–61; zum straddle Malkiel/Quandt(1969), S. 46, 53–54.Google Scholar
  127. 506.
    Vgl. mit ausführlicher Herleitung Corrado/Miller (1996), S. 597–599.Google Scholar
  128. 507.
    Vgl. bereits Chance (1993), S. 60–62. Vgl. Chance (1996), S. 861–862. Dabei verwundert, dass die Schätzung der impliziten Volatilität einen Unterschied zwischen der impliziten Volatilität zweier Calls mit unterschiedlichen Ausübungspreisen verwendet. Damit berücksichtigt das Verfahren explizit Unterschiede in der impliziten Volatilität, obwohl ein solcher Unterschied bei Gültigkeit des BSM-Modells, das von einer konstanten Volatilität ausgeht, nicht existiert. Zur empirischen Beobachtung unterschiedlicher impliziter Volatilitäten für Optionen mit verschiedenen Ausübungspreisen, die ansonsten identisch sind, vgl. auch Kapitel 4.4.3.Google Scholar
  129. 508.
    Vgl. Brenner/ Subrahmanyam(1988), S. 81–82.Google Scholar
  130. 509.
    Bei kürzeren Optionslaufzeiten, z.B. einem Monat, reduzieren die Autoren die Genauigkeit ihres Verfahrens auf einen Bereich von ±5 % um den diskontierten Ausübungspreis. Vgl. Corrado/ Miller (1996), S. 599.Google Scholar
  131. 510.
    Vgl. Chance (1996), S. 863–864.Google Scholar
  132. 511.
    Zu einem aktuellen Überblick über die Spezifikationen der Optionskonstrakte vgl. EUREX (2006), S. 22–23.Google Scholar
  133. 512.
    Diese Vereinfachung der Ermittlung impliziter Volatilitäten aus Marktpreisen amerikanischer Optionen mit Hilfe des BSM-Modells findet sich regelmäßig auch in der Literatur. Vgl. z. B. Day/ Lewis (1988), S. 105–106; Day/Lewis (1992), S. 272–273; Resmck/Sheikh/Song (1993), S. 410.Google Scholar
  134. 514.
    Vgl. zur Ermittlung der impliziten Volatilität aus dem Marktpreis einer Option auf einen Aktienindex z. B. Schäfer (1997), S. 291–293; Rudolph/Schäfer (2005), S. 269–270.Google Scholar
  135. 515.
    Die Aktien der Allianz AG mit Sitz in München werden im XETRA-System der Deutsche Börse AG unter der ISIN DE0008404005 mit dem Börsenkürzel ALV gehandelt. Bei den Aktien der Allianz AG handelt es sich um vinkulierte Namensaktien (Stammaktien) ohne Nennwert. Mit Wirkung zum 13.10.2006 wurde die Umwandlung der Allianz AG in die Rechtsform der Europäischen Gesellschaft (Societas Europaea, SE) abgeschlossen. Vgl. Allianz SE (2006). Seither werden daher die Aktien der Allianz SE im XETRA-System der Deutsche Börse AG gehandelt.Google Scholar
  136. 519.
    Damit werden für die Allianz AG alle Calls mit Ausübungspreisen zwischen 128,99 € und 157,65 € betrachtet. Für die DaimlerChrysler AG werden somit alle Calls mit Ausübungspreisen zwischen 35,85 € und 43,81 € in die Untersuchung einbezogen. Grund für die Einschränkung auf Optionen, deren Ausübungspreis nahe am aktuellen Aktienkurs des Basiswerts liegt, ist die empirische Beobachtung, dass das Handelsvolumen dieser Optionen besonders hoch ist und daher davon ausgegangen werden kann, dass die Marktpreise dieser Optionen nicht durch einen zu geringen Handel verzerrt sind. So zeigen in einer Untersuchung von 697.733 Aktienoptionstransaktionen an der CBOE, dass ca. 41 % aller Transaktionen auf Optionen mit einem Ausübungspreis im Bereich von ±5 % um den aktuellen Aktienkurs entfallen. In einem Bereich von ±10 % um den aktuellen Aktienkurs sind es hingegen bereits 67 %. Vgl. Barone-Adesi/Whaley (1986), S. 96. Stephan/Whaley (1990) zeigen anhand von 950.346 Aktienoptionstransaktionen an der CBOE, dass ca. 58 % auf einen Bereich von ±5 % um den aktuellen Aktienkurs und ca. 85 % auf einen Bereich von ±10 % um den aktuellen Aktienkurs entfallen. Vgl. Stephan/ Whaley (1990), S. 197.Google Scholar
  137. 521.
    Da im Weiteren die Schlusskurse am 10.10.2006 zur Ermittlung der impliziten Volatilität herangezogen werden, wird in der kalenderechten Berechnung bis zum Ende der Optionslaufzeit der 10.10.2006 nicht mitgezählt. Der letzte Handelstag wird jedoch in die Berechnung einbezogen, da der Verfalltag einer Aktienoption an der EUREX der auf den letzten Handelstag folgende Börsentag ist. Vgl. EUREX (2006), S. 41.Google Scholar
  138. 526.
    Vgl. Wallmeier (2003), S. 172; Hull (2003), S. 251.Google Scholar
  139. 527.
    Hierfür sprechen die Untersuchungen von French (1980) zum sog. weekend effect und von French/ Roll (1986). Daher schlägt French (1984) die Bewertung von Optionen auf Basis von zwei unterschiedlichen Restlaufzeiten vor. Vgl. French (1984), S. 550; Hull (2003), S. 252. 528 Alternativ könnte mit Hilfe der von der Deutschen Bundesbank angegebenen Parameter zur Schätzung der Zinsstruktur versucht werden, einen risikolosen Zinssatz für Anlagen mit einer Restlaufzeit von unter einem Jahr zu approximieren. Da die Zinsstrukutur am 10.10.2006 im sehr kurzfristigen Bereich mit Restlaufzeiten von bis zu ca. drei Jahren ohnehin sehr flach verläuft, wird auf die Schätzung eines sehr kurzfristigen risikolosen Zinssatzes von Null-Kuponanleihen mit einer Restlaufzeit von unter einem Jahr vereinfachungsbedingt verzichtet. Zu den von der Deutschen Bundesbank am 10.10.2006 geschätzten risikolosen Zinssätzen der Zinsstruktur siehe Tabelle 1.Google Scholar
  140. 531.
    Vgl. Latané/ Rendleman (1976), S. 370–371; Campbell/Lo/MacKinley (1997), S. 378.Google Scholar
  141. 532.
    Vgl. Chriss(1997), S. 341; Chance (1996), S. 860; Rudolph/Schäfer (2005), S. 267, 269; Dupire (1994), S. 18; Wallmeier (2003), S. 54–56; mit graphischer Darstellung für S&P 500 Indexoptionen Rubinstein (1994), S. 777 und auch Barle/Cakici (1995), S. 76.Google Scholar
  142. 533.
    Vgl. Canina/ Figlewski (1993), S. 665–667; Derman/Kani (1994), S. 32–33.Google Scholar
  143. 534.
    Vgl. Wallmeier (2003), S. 62–63.Google Scholar
  144. 535.
    Vgl. Campbell/ Lo/ MacKinley (1997), S. 378–379; Wallmeier (2003), S. 56–62.Google Scholar
  145. 536.
    Vgl. Gemmill (1986), S. 535.Google Scholar
  146. 537.
    Vgl. Mayhew (1995), S. 9.Google Scholar
  147. 538.
    Vgl. z. B. Schmalensee/ Trippi (1978), S. 132.Google Scholar
  148. 539.
    Dabei wird davon ausgegangen, dass Fehler bei der Schätzung der impliziten Volatilität aus Optionen, deren Preis in Bezug auf die Volatiltität weniger sensitiv ist, vermutlich höher sind, als bei Optionen mit hohen Optionsvegas. Vgl. Latané/ Rendleman (1976), S. 371; Mayhew (1995), S. 9.Google Scholar
  149. 540.
    Vgl. Chiras/ Manaster(1978), S. 218.Google Scholar
  150. 541.
    Vgl. Rudolph/ Schäfer (2005), S. 268; zu einer Gewichtungsmethode in Abhängigkeit des Handelsvolumens Day/Lewis(1988), S. 109–111.Google Scholar
  151. 542.
    Vgl. Beckers (1981), S. 367, 380.Google Scholar
  152. 543.
    Vgl. Whaley (1982), S. 57.Google Scholar
  153. 544.
    Vgl. Gemmill (1986), S. 545.Google Scholar
  154. 545.
    Vgl. Beckers (1981), S. 380; Mayhew (1995), S. 10.Google Scholar
  155. 546.
    Als Hauptgrund hierfür wird angeführt, dass die an einem bestimmten Tag beobachteten Schlusskurse für den Basiswert und die betreffende Option nicht notwendigerweise zum gleichen Zeitpunkt beobachtet werden konnten. Vgl. Brenner/ Galai (1984), S. 404.Google Scholar
  156. 547.
    Einen breiteren Überblick über die empirischen Untersuchungsergebnisse der unterschiedlichen Gewichtungsmöglichkeiten der impliziten Volatilitäten z.B. auch aus Währungs-und Rohstoffoptionen bietet Mayhew (1995), S. 10–11.Google Scholar
  157. 548.
    Mayhew (1995), S. 14 (ohne Hervorhebung im Original).Google Scholar
  158. 549.
    Vgl. Wallmeier (2003), S. 154; Corrado/Miller (1996), S. 602; mit einem guten Literaturüberblick Mayhew (1995), S. 10, 14.Google Scholar
  159. 550.
    Vgl. auch Wallmeier (2003), S. 154–155.Google Scholar
  160. 551.
    Vgl. z. B. Latané/ Rendleman (1976); Schmalensee/Trippi (1978); Chiras/Manaster (1978) und Beckers (1983).Google Scholar
  161. 552.
    Einen guten Überblick über die empirischen Ergebnisse auch aus der Untersuchung von Aktienindexoptionen, Optionen auf amerikanische und deutsche Staatsanleihen oder Währungsoptionen gibt Mayhew (1995), S. 11–13.Google Scholar
  162. 553.
    Vgl. Canina/ Figlewski (1993), S. 660, 664.Google Scholar
  163. 554.
    Vgl. Christensen/ Prabhala (1998), S. 127–128. Die Autoren begründen ihr Ergebnis damit, dass sie im Gegensatz zu Canina/Figlewski keine überlappenden Zeitperioden in ihre Untersuchung einbeziehen. So kommen Christensen/Prabhala u.a. auch zu dem Schluss, dass „the apparent inefficiency of implied volatility reported by CF [Canina/Figlewski (1993)] seems to be an artifact of their overlapping sampling method.“ Christensen/Prabhala (1998), S. 128.Google Scholar
  164. 555.
    Vgl. Christensen/ Prabhala (1998), S. 148.Google Scholar
  165. 556.
    Vgl. Christensen/ Hansen (2002), S. 203.Google Scholar
  166. 557.
    Vgl. Fleming (1998), S. 323, 341, der explizit die Beobachtungen während des Crashs im Oktober 1987 aus der Untersuchung ausklammert.Google Scholar
  167. 558.
    Canina/ Figlewski (1993), S. 660.Google Scholar
  168. 559.
    Vgl. Mayhew (1995), S. 13; Whaley (1982), S. 34.Google Scholar
  169. 560.
    Da hierzu im Wesentlichen dieselben Methoden und Modelle wie zur Schätzung der Volatilität auf Basis historischer Renditen zur Verfügung stehen, wird diesbezüglich auf die Literatur verwiesen. Vgl. z. B. Hull (2003), S. 372–388; Poddig/Dichtl/Petersmeier (2000), S. 64–70.Google Scholar
  170. 562.
    Vgl. Markowitz (1952), S. 81; Sharpe (1970), S. 42–43; Haley/Schall (1973), S. 118.Google Scholar
  171. 563.
    Vgl. z. B. Hull (2003), S. 445.Google Scholar
  172. 564.
    Eine amerikanische Austauschoption (american exchange option) unterscheidet sich von einer ansonsten identischen europäischen Austauschoption lediglich durch das Recht der vorzeitigen Ausübung. Da das vorzeitige Ausübungsrecht der amerikanischen Austauschoption jedoch nur vor dem Ende der Optionslaufzeit einen positiven Wert aufweisen kann, weisen die europäische und die amerikanische Austauschoption am Ende der Optionslaufzeit identische Werte auf. Da für die weitere Untersuchung eine gesonderte Diskussion amerikanischer Austauschoptionen nicht erforderlich ist, wird diesbezüglich auf die Literatur verwiesen. Vgl. z. B. Bjerksund/ Stensland (1993), S. 761–763; Margrabe (1978), S. 180–181.Google Scholar
  173. 565.
    Vgl. Hull (2003), S. 445.Google Scholar
  174. 566.
    Vgl. Margrabe (1978), S. 178.Google Scholar
  175. 567.
    Vgl. Margrabe (1978), S. 178.Google Scholar
  176. 568.
    Siehe hierzu die Annahmen AM 1-AM 8 in Kapitel 4.3.1. Die Ableitung des Optionspreismodells für Austauschoptionen wird an dieser Stelle nicht vollumfänglich präsentiert, sondern lediglich kurz skizziert, da Aktienoptionen letztlich als besondere Austauschoptionen interpretiert werden können. Zudem zeigt sich, dass Austauschoptionen nach geringfügiger Modifikation auch mit dem BS-Modell bewertet werden können, für das bereits eine kurze Ableitung in Kapitel 4.3.1 vorgestellt wurde. Vgl. ausführlich Margrabe (1978), S. 177–180. Zu einer Ableitung eines Optionspreismodells zur Bewertung von Optionen mit stochastischem Ausübungspreis, das äquivalent zu dem Modell von Margrabe ist, vgl. Fischer (1978), S. 170–174.Google Scholar
  177. 570.
    Vgl. Margrabe (1978), S. 178.Google Scholar
  178. 571.
    Vgl. zur Erläuterung ausführlich Margrabe (1978), S. 178, Fn. 3.Google Scholar
  179. 572.
    Vgl. Margrabe (1978), S. 178.Google Scholar
  180. 573.
    Vgl. Margrabe (1978), S. 179.Google Scholar
  181. 575.
    Vgl. Haug (1997), S. 52. Das Margrabe-Modell kann analog zur Bewertung europäischer Optionen auf die Differenz zwischen einem kurz-und einem langfristigen Zinssatz angewendet werden. Vgl. Fu(1996), S. 646–647.Google Scholar
  182. 577.
    Vgl. Siegel (1995), S. 126–127; Margrabe (1978), S. 179; Hull (2003), S. 446.Google Scholar
  183. 578.
    „A lender of one unit of asset two demands one unit of asset two back as repayment of principle. He charges no interest on the loan, because asset two’s appreciation over the loan period is equilibrium compensation for investment and risk.“ Margrabe (1978), S. 180.Google Scholar
  184. 581.
    Siehe zur Ableitung Anhang 1. Vgl. zu einer Vereinfachung unter der Annahme einer am Geld liegenden Austauschoption Siegel (1995), S. 127.Google Scholar
  185. 583.
    Vgl. Siegel (1995), S. 127 und die Ausführungen bei Husmann (2006), S. 5–6.Google Scholar
  186. 584.
    Vgl. Siegel (1995), S. 125, Fn. 1.Google Scholar
  187. 585.
    Vgl. Husmann (2006), S. 6.Google Scholar
  188. 586.
    Vgl. Siegel (1995), S. 125.Google Scholar
  189. 587.
    Vgl. Siegel (1995), S. 125.Google Scholar
  190. 588.
    Vgl. zu weiteren Beispielen Margrabe (1978), S. 181–185. Zu einer ähnlichen Indexierung von Aktienoptionsprogrammen mit multivariaten Optionen vgl. Rudolph/Schäfer (2000), S. 55–56.Google Scholar
  191. 589.
    Vgl. zu den Ausgestaltungsmöglichkeiten von Aktienoptionsplänen Dietz (2004), S. 78–128.Google Scholar
  192. 590.
    Zwar können die Minimum-/Maximumoptionen auch mehr als zwei riskante Wertpapiere umfassen, jedoch lässt sich mit Hilfe einer solchen Option selbst bei Kenntnis des Marktpreises der Option keine eindeutige implizite Korrelation zwischen zwei bestimmten riskanten Wertpapieren ermitteln. Von einer Diskussion von Minimum-/Maximumoptionen auf mehr als zwei riskante Wertpapiere wird daher abgesehen. Vgl. hierzu z. B. Johnson (1987).Google Scholar
  193. 591.
    Vgl. daher zur Bewertung von Maximumoptionen Stulz (1982), S. 166–167; Haug(1997), S. 57–58. Eine amerikanische Minimum-/Maximumoption (american option on the minimum/maximum of two risky assets) unterscheidet sich von einer ansonsten identischen europäischen Minimum-/Maximumoption lediglich durch das Recht der vorzeitigen Ausübung. Da das vorzeitige Ausübungsrecht der amerikanischen Minimum-/Maximumoption nur vor dem Ende der Optionslaufzeit einen positiven Wert aufweisen kann, weisen die europäische und die amerikanische Minimum-/Maximumoption am Ende der Optionslaufzeit identische Werte auf.Google Scholar
  194. 592.
    Vgl. Stulz (1982), S. 163.Google Scholar
  195. 593.
    Vgl. Stulz (1982), S. 167.Google Scholar
  196. 595.
    Vgl. Haug (1997), S. 57.Google Scholar
  197. 596.
    Vgl. Stulz (1982), S. 162–166. Siehe hierzu die Annahmen AM 1-AM 8 m Kapitel 4.3.1.Google Scholar
  198. 598.
    Vgl. Stulz (1982), S. 163.Google Scholar
  199. 599.
    Vgl. Stulz (1982), S. 163–164.Google Scholar
  200. 600.
    Vgl. Stulz (1982), S. 164.Google Scholar
  201. 602.
    Vgl. Haug (1997), S. 57.Google Scholar
  202. 603.
    Zur Ermittlung der bivariaten Normalverteilungswerte kann z.B. ein Approximationsverfahren von Drezner (1978), S. 277–279 eingesetzt werden.Google Scholar
  203. 604.
    Vgl. Haug (1997), S. 57.Google Scholar
  204. 608.
    Vgl. Haug (1997), S. 169.Google Scholar
  205. 613.
    Vgl. BHF-Bank AG(2006), S. 51–52; vgl. auch ING BHF-Bank AG (2002), S. 49.Google Scholar
  206. 614.
    Vgl. BHF-Bank AG (2006), S. 8.Google Scholar
  207. 618.
    Vgl. Haug (1997), S. 169.Google Scholar
  208. 622.
    Vgl. z. B. Walter/ Lopez (1997), S. 21–29; Campa/Chang (1997), S. 19–20; Siegel (1997), S. 383.Google Scholar
  209. 623.
    In Kapitel 4.5.3.2 wurde zwar nur die Bewertung von Minimumoptionen dargestellt, jedoch gilt (4.83) auch für die Bewertung von Maximumoptionen. Vgl. Stulz (1982), S. 166; Haug (1997), S. 57.Google Scholar
  210. 624.
    Vgl. Siegel (1995), S. 127; Husmann (2006), S. 6.Google Scholar
  211. 628.
    An der EUREX werden die Index-und Aktienoptionen nur mit bestimmten Fälligkeitsmonaten gehandelt. Vgl. ausführlich EUREX (2006), S. 31–32, 36.Google Scholar
  212. 631.
    Vgl. Haug (1997), S. 173.Google Scholar
  213. 633.
    Vgl. ausführlich EUREX (2006), S. 31–32, 36.Google Scholar
  214. 634.
    Vgl. Husmann (2006), S. 5.Google Scholar
  215. 635.
    Das von Husmann (2006) verwendete Optionspreismodell stammt von Jarrow/Madan (1997) und basiert unter anderem auf der Annahme, dass sich die Investoren bei ihren Entscheidungen am μ, σ-Prinzip orientieren. Vgl. Jarrow/Madan (1997), S. 19.Google Scholar
  216. 636.
    Vgl. Husmann (2006), S. 6–7.Google Scholar
  217. 637.
    Allerdings zeigen Jarrow/ Madan (1997), dass sich bei der Bewetung von Calls mit Hilfe ihres Optionspreismodells negative und daher nicht arbitragefreie Preise ergeben können. Vgl. Jarrow/Madan (1997), S. 15, 28–29.Google Scholar

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