Vollständige Induktion

Zusammenfassung

Nicht immer lässt sich eine Aussage der Form „∀n∈ℕ:p(n)“ einfach dadurch beweisen, dass man für n eine beliebige natürliche Zahl a wählt und dann einen Beweis für p(a) führt. Zum Beispiel ist ein solcher Beweis für die Behauptung

$$ \begin{gathered} Jeder Geldbetrag von mindestens 4 Pfennigen \hfill \\ l\ddot asst sich allein mit Zwei-- und F\ddot unfpfennigst\ddot ucken bezahlen. \hfill \\ \end{gathered} $$

etwas umständlich, falls wir a Pfennige bezahlen müssen und sonst nichts über a wissen. Wenn wir jedoch wissen, in welcher Stückelung a Pfennige zu bezahlen sind, können wir daraus recht leicht schließen, wie eine Stückelung für a + 1 Pfennige aussehen kann: Man stelle sich dazu den Münzenhaufen für a Pfennige vor. Wenn er zwei Zweipfennigstücke enthält, nehmen wir sie fort und legen dafür ein Fünfpfennigstück hinzu (Regel 1). Wenn er ein Fünfpfennigstück enthält, nehmen wir es fort und legen dafür drei Zweipfennigstücke hinzu (Regel 2). Im ersten Fall enthält der Münzenhaufen a - 2 · 2 + 5 = a + 1 Pfennige, und im zweiten Fall a - 5 + 3 · 2 = a + 1 Pfennige. Da jeder solcher Münzenhaufen von mindestens 4 Pfennigen entweder ein Fünfpfennigstück oder zwei Zweipfennigstücke enthalten muss, ist stets eine der beiden Regeln anwendbar.