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Lineare Differentialgleichungen

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Auszug

Die einfachste Differentialgleichung ist, abgesehen vom „trivialen“ Fall = a, von der Form
$$ \dot x = ax, $$
(2.1)
wobei a ∈ ℝ eine Konstante ist. Die Gleichung modelliert die Eigenschaft, dass das aktuelle Wachstum von x proportional zur aktuellen Größe von x ist. Diese lineare Differentialgleichung war uns bereits in der Einleitung bei der Modellierung der Entwicklung einer Population begegnet. Die Löosungen von (2.1) hatten wir dort als
$$ x(t) = \exp (at) x_0 $$
(2.2)
kennengelernt. Hier ist x0 eine beliebige reelle Zahl, die den Wert x0 = x(0) der Lösung zum Zeitpunkt t = 0 festlegt. Falls a≠ 0 ist, wachsen (für a > 0) oder fallen (für a < 0) also alle Lösungen exponentiell.

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© Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009

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