Lineare Differentialgleichungen

Auszug

Die einfachste Differentialgleichung ist, abgesehen vom „trivialen“ Fall ẋ = a, von der Form

$$ \dot x = ax, $$

(2.1)

wobei a ∈ ℝ eine Konstante ist. Die Gleichung modelliert die Eigenschaft, dass das aktuelle Wachstum von x proportional zur aktuellen Größe von x ist. Diese lineare Differentialgleichung war uns bereits in der Einleitung bei der Modellierung der Entwicklung einer Population begegnet. Die Löosungen von (2.1) hatten wir dort als

$$ x(t) = \exp (at) x_0 $$

(2.2)

kennengelernt. Hier ist x₀ eine beliebige reelle Zahl, die den Wert x₀ = x(0) der Lösung zum Zeitpunkt t = 0 festlegt. Falls a≠ 0 ist, wachsen (für a > 0) oder fallen (für a < 0) also alle Lösungen exponentiell.