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Einführung

Chapter
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Auszug

Differentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion mittels ihrer Werte und denen ihrer Ableitungen charakterisieren. Im Falle gewöhnlicher Differentialgleichungen ist dies eine Funktion, die auf den reellen Zahlen ℝ definiert ist, also eine Abbildung von ℝ (oder einer Teilmenge von ℝ) in einen beliebigen Bildraum. In diesem Buch werden wir dieses eindimensionale Argument der Lösungsfunktion stets als Zeit auffassen und mit t ∈ ℝ bezeichnen. Als Bildraum betrachten wir hier ausschließlich den euklidischen Raum ℝ d . Die in diesem Buch betrachteten gewöhnlichen Differentialgleichungen sind also mathematische Modelle des Verhaltens von zeitlich veränderlichen Systemen. Bezeichnen wir die Ableitung einer Funktion tx(t) nach der Zeit t mit , so lässt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung schreiben als
$$ \dot x(t) = f(t,x(t)) f\ddot ur alle t \in \mathbb{R}, $$
(1.1)
für eine Abbildung f: ℝ × ℝ d → ℝ d , das sogenannte Vektorfeld. Die Funktion f ist gegeben, während die Funktion x: ℝ → ℝ d die Unbekannte in (1.1) ist. In den meisten Fällen schreibt man für (1.1) kurz
$$ \dot x = f(t,x). $$
(1.2)

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© Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009

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