Auszug
5.1. Die von Cardano veröffentlichten Verfahren zur Auflösung von ku-bischen und biquadratischen Gleichungen markieren den Beginn einer historischen Periode, in der es vielfältige Versuche gegeben hat, eine all-gemeine Formel zur Lösung von Gleichungen fünften Grades zu finden. Für dieses Ziel war es natürlich nahe liegend, nach Gemeinsamkeiten der bereits gefundenen Lösungsverfahren zu suchen. Dabei konnten im Fall der biquadratischen Gleichung sogar diverse Alternativen zu Ferraris Lö-sungsmethode mit einbezogen werden, die mit anderen Äquivalenzum-formungen und anderen Zwischenergebnissen zu letztlich übereinstim-menden Resultaten führen26.
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Notes
Die wohl umfassendeste Zusammenstellung solcher Verfahren gibt Ludwig Matthies-sen, Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen, Leip-zig 1896.
Zum Leben von Abel siehe Arild Stubhaug, Ein aufleuchtender Blitz: Niels Henrik Abel und seine Zeit, Berlin 2003 (norweg. Orig. 1996).
Siehe Raymond G. Ayoub, Paolo Ruffini’s contributions to the quintic, Archive for History Exact Sciences, 23 (1980), S. 253–277; Raymond G. Ayoub, On the nonsol-vability of the general polynomial, American Mathematical Monthly, 89 (1982), S. 397-401; Christian Skau, Gjensen med Abels og Ruffinis bevis for unmuligheten av å løse den generelle n’ tegradsligningen algebraisk når n>5, Nordisk Matematisk Tidskrift (Normat), 38 (1990), S. 53-84, 192; Ivo Radloff, Abels Unmöglichkeitsbe-weis im Spiegel der modernen Galoistheorie, Mathematische Semesterberichte, 45 (1998), S. 127-139.
Natürlich stellt sich die Frage, in welchen Punkten Ruffinis Argumentation lückenhaft ist und wie diese Defizite geschlossen werden können: Bereits erwähnt wurde, dass Abel einen Beweis dafür lieferte, dass eine Lösung der allgemeinen Gleichung mit Radikalen, sollte sie überhaupt möglich sein, immer auch so erfolgen kann, dass jeder Zwischenschritt einem Polynom in den Lösungen ent-spricht. Eine kommentierte Wiedergabe von Abels Beweis findet man bei Peter Pesic, Abels Beweis, Berlin 2005 (amerikan. Orig. 2003), S. 155–174. Alternativ zu Abels Argumentation ist es aber auch möglich, Permutationen auf (for-male) Ausdrücke, die geschachtelte Wurzeln beinhalten, wie beispielsweise (x)57-1 auszudehnen. Einen vollständigen Beweis, der auf diesem Ansatz basiert, findet man bei John Stillwell, Galois theory for beginners, American Mathematical Monthly, 101 (1994), S. 22-27. Zugunsten der wesentlich allgemeineren Sicht, den Galois’ Ansatz bietet, soll hier aber auf eine genauere Darlegung verzichtet werden.
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(2007). Die Suche nach weiteren Auflösungsformeln. In: Algebra für Einsteiger. Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-8348-9204-1_5
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