Catalan-Zahlen

Auszug

Die Catalan-Zahlen sind oft in Problemen auf dem Gebiet der Kombinatorik anzutreffen. Sie sind wie folgt definiert:

$$ C_n = \frac{1} {{n + 1}}\left( {\begin{array}{*{20}c} {2n} \\ n \\ \end{array} } \right) $$

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Die ersten Zahlen sind also: C₀ = 1, C₁ = 1, C₂ = 2, C₃ = 5, C₄ = 14, C₅ = 42, C₆ = 132, C₇ = 429, C₈ = 1430, C₉ = 4862, C₁₀=16796, C₁₁=58786, ...

• Ein klassisches Problem der Dynamischen Programmierung ist die Zerlegung eines konvexen n-Ecks durch sich nicht schneidende Diagonalen in Dreiecke. Wie viele Zerlegungen sind möglich?

• Das Generieren aller korrekten Klammerungen mit n öffnenden und n schließenden Klammern ist ein bekanntes Backtracking-Problem. Die Klammerungen ()() und (()) sind korrekt und ())( und )(() sind inkorrekt. Wie viele solche Klammerungen gibt es?

• Oft verwenden wir verschiedene Algorithmen zur Suche in bzw. Erzeugung von binären Bäumen. Wie viele vollständige Binärbäume mit n inneren Knoten gibt es?

• Ein kombinatorisches Problem ist das Auffinden aller Möglichkeiten dafür, dass 2n Personen an einem runden Tisch sitzen und jede Person genau einer anderen die Hand zur Begrüßung reichen soll, so dass es keine überkreuzenden Arme gibt.

• Ein politisches Problem stellt die Wahl zwischen Angie und Gerd dar. Beide sollen am Ende je n Stimmen aufweisen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass während des Zählens Gerd nie vor Angie liegt?