Symmetrische Räume

Zusammenfassung

Zwischen der Forderung konstanter Krümmung und der transitiven Isometriegruppe des letzten Kapitels gibt es eine Eigenschaft der Isometriegruppe, die eine durchaus umfangreiche Klasse von Räumen liefert, welche aber ähnlich gut zu verstehen sind wie die Räume konstanter Krümmung. Bei diesen symmetrischen Räumen soll die Isometriegruppe zu jedem Punkt p ∈ M eine geodätische Punktspiegelung enthalten. Viele dieser Räume spielen in anderen Gebieten der Mathematik eine zentrale Rolle, weil sie Lösungen von Problemen aus diesen Gebieten parametrisieren; etwa in der algebraischen Geometrie und der Zahlentheorie.

Nach den Definitionen werden im zweiten Abschnitt die symmetrischen Räume durch eine infinitesimale Eigenschaft charakterisiert. Im vierten Abschnitt folgt eine genaue Charakterisierung in Termen der Lie-Algebren. Im vorletzten Abschnitt wird gezeigt, dass sich symmetrische Räume in Paare zueinander dualer Räume einteilen lassen, je einen kompakten und einen nicht-kompakten. Zum Abschluss folgen einige Resultate über Geodätische auf homogenen und symmetrischen Räumen.