Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung

Die Objekte, auf denen in diesem Buch geometrische Strukturen wie Metriken, Krümmungen und Isometrien untersucht werden, sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Im Wesentlichen sind dies topologische Räume, die lokal diffeomorph zu einem R ⁿ sind. Diese werden in diesem Kapitel zusammen mit den zugehörigen Morphismen definiert. Als Grundlage für die Differentialgeometrie in den späteren Kapiteln wird in diesem und dem nächsten Kapitel auch einiges über die Differentialtopologie der Mannigfaltigkeiten gesagt werden. Im Gegensatz zu rein topologisch definierten Mannigfaltigkeiten tragen differenzierbare Mannigfaltigkeiten einen Tangentialraum, der eine so zentrale und wichtige Rolle spielt, dass er in diesem Kapitel nacheinander auf drei sehr verschiedene Arten beschrieben wird: Erstens lokal durch Vergleich mit Vektoren auf dem R ⁿ, zweitens durch einen rein algebraischen Ableitungsbegriff auf reell-wertigen Funktionen und drittens durch Familien von Diffeomorphismen. Zum Schluss werden als richtungsweisendes Beispiel Mannigfaltigkeiten betrachtet, die zusätzlich eine Gruppen-Struktur tragen. Als Motivation und wichtiges sowie anschauliches Beispiel wird mit Untermannigfaltigkeiten eines R ⁿ begonnen, die häufig auch in den Analysis-Grundvorlesungen behandelt werden.