Lineare Gleichungssysteme, iterative Verfahren

Zusammenfassung

Die Behandlung von linearen elliptischen Randwertaufgaben mit dem Differenzenverfahren oder mit finiten Elementen führt auf die Aufgabe, lineare Gleichungssysteme mit symmetrischer oder gelegentlich unsymmetrischer Matrix für die unbekannten Funktionswerte in den Gitterpunkten zu lösen. Bei feiner Diskretisierung des Grundgebietes sind die Systeme einerseits von hoher Ordnung und besitzen andererseits die Eigenschaft, sehr schwach besetzt (engl. sparse) zu sein. Grundsätzlich können sie mit den direkten Methoden von Kapitel 2 gelöst werden, wobei bei geeigneter Nummerierung der Unbekannten die resultierende Bandstruktur ausgenutzt werden kann. Im Verlauf des Eliminationsprozesses erfolgt aber im Inneren des Bandes ein oft vollständiger Auffüllprozess (das sog. fill-in), bei welchem Matrixelemente, die ursprünglich gleich null sind, durch von null verschiedene Werte ersetzt werden. Dadurch kann für sehr große Gleichungssysteme neben dem Rechenaufwand insbesondere der Speicherbedarf prohibitiv groß werden. Deshalb erweisen sich iterative Verfahren zur Lösung von sehr großen, schwach besetzen linearen Gleichungssystemen als geeignete Alternativen, mit denen die schwache Besetzung voll ausgenutzt wird. Im Folgenden betrachten wir die klassischen Iterationsmethoden und zeigen einige ihrer wichtigsten Eigenschaften auf. Darauf aufbauend werden Mehrgittermethoden beschrieben, die zu den schnellsten Lösern für die genannten Probleme gehören. Dann wird die Methode der konjugierten Gradienten für symmetrische und positiv definite Gleichungssysteme ausführlich unter Einschluss der zentralen, die Konvergenz verbessernden Vorkonditionierung behandelt. Daraus wird anschließend die Methode der verallgemeinerten minimierten Residuen zur Lösung von unsymmetrischen Gleichungssystemen entwickelt. Ausführlichere Darstellungen von Iterationsmethoden findet man etwa in [Bey 98, Bra 93, Bri 00, McC 88, Hac 85, Hac 93, Hag 04, Sto 05, Var 00, Wes 04, You 71].