Filterentwurf im Frequenzraum

Chapter

Zusammenfassung

Vom Gibbsschen Phänomen kennen wir schon den Begriff „idealer Tiefpass“. Dort haben wir bemerkt, dass beim idealen Tiefpass „Ringing-Artefakte“ in der Nähe von Kanten entstehen. Daher ist ein idealer Tiefpass im Sinne der Datenkompression überhaupt nicht ideal. Idealer Tiefpass heißt nun, wir multiplizieren die Fourierkoeffizienten eines Bildes mit der Rechteckfunktion. Wir schreiben dies einmal für das Modell \(A1[X]\) auf:
$$\displaystyle\alpha_{k}=\begin{cases}1&|k|\leq n\\ 0&\text{sonst}.\end{cases}$$
(7.1)
Durch die Multiplikation im Frequenzraum haben wir im Ortsraum eine Faltung des Bildes \(f(x)\) mit der Funktion \(h(x)\), deren Fouriertransformierte die Rechteckfunktion darstellt. Daher transformieren wir nun die Rechteckfunktion zurück:
$$\sqrt{X}\cdot h(x) =D_{n}(x)=\sum_{k=-n}^{n}1\cdot e^{+2\pi ik\frac{x}{X}}=1+2\cdot\sum_{k=1}^{n}\cos\left(2\pi k\frac{x}{X}\right)$$
$$ =\begin{cases}\frac{\sin((2n+1)\pi\frac{x}{X})}{\sin(\pi\frac{x}{X})}&x\neq l\cdot X\\ 2n+1&x=l\cdot X.\end{cases}$$
(7.2)

Copyright information

© Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

Authors and Affiliations

  1. 1.Lehrstuhl für Digitale Bildverarbeitung Institut für Mathematik und InformatikFriedrich-Schiller-Universität JenaJenaDeutschland
  2. 2.Lehrstuhl für Digitale Bildverarbeitung Institut für Mathematik und InformatikFriedrich-Schiller-Universität JenaJenaDeutschland

Personalised recommendations