Integration messbarer Funktionen

Zusammenfassung

Nachdem wir nunmehr Maße zu Verfügung haben, insbesondere das Lebesguesche Maß, können wir Integrale definieren. Damit eine auf einem Maßraum (Ω,𝔄, µ) definierte numerische Funktion f integrierbar ist, ist zunächst einmal Voraussetzung, dass f messbar ist, d.h. dass für jede reelle Zahl c die Menge {x ∈ Ω : f (x) ≥ c} zur σ-Algebra 𝔄 gehört. Insbesondere ist die charakteristische Funktion _ΧA einer Teilmenge A ⊂ Ω genau dann messbar, wenn A ∈ 𝔄. In diesem Fall ist das Integral ∫ _ΧA dµ definitionsgemäß gleich µ(A). Verlangt man noch die Linearität sowie die Vertauschbarkeit des Integrals mit monotonen Limiten, so ergibt sich die allgemeine Definition des Integrals fast automatisch.