Matrizenrechnung

Zusammenfassung

Das erste Kapitel befasst sich mit mathematischen Grundlagen, die für die Formulierung und Anwendung der Finite-Element-Methode benötigt werden. Zunächst werden elementare Konzepte der Matrizenrechnung vorgestellt und an Beispielen erläutert. Danach werden Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme und Bedingungen für deren Lösbarkeit behandelt.

Appendices

Aufgaben

1.1

Gegeben ist das Gleichungssystem

$$ \begin{gathered} 10 \cdot x_{1} - 4 \cdot x_{2} = y_{1} \hfill \\ - 8 \cdot x_{1} - x_{2} = y_{2} \hfill \\ \end{gathered} $$

mit

$$ \begin{array}{*{20}l} {10 \cdot y_{1} + 2 \cdot y_{2} = z_{1} } \hfill \\ {6 \cdot y_{1} + y_{2} = z_{2} } \hfill \\ \end{array} \quad {\text{und}}\quad \begin{array}{*{20}c} {3 \cdot z_{1} + 4 \cdot z_{2} = 20} \\ {6 \cdot z_{1} + 2 \cdot z_{2} = 10} \\ \end{array} . $$

• a) Stellen Sie das Gleichungssystem für die Unbekannten $x_{1}$, $x_{2}$ durch Einsetzen der Gleichungen auf (in skalarer Schreibweise).

• b) Schreiben Sie die 3 Gleichungen in Matrizenform und zeigen Sie, dass in Matrizenschreibweise sich dasselbe Gleichungssystem für den Lösungsvektor $\underline{x} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ \end{array} } \right]$ ergibt wie nach a).

1.2

Ermitteln Sie die Matrix

$$ \underline{C} = \underline{A}^{\text{T}} \cdot c \cdot \underline{B}^{\text{T}} \cdot \underline{B} \cdot \underline{A} $$

mit

$$ \underline{A} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 4 & 6 \\ 1 & 0 \\ 2 & 4 \\ \end{array} } \right],\quad \underline{B} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 2 & 0 & { - 6} \\ { - 2} & 2 & 0 \\ \end{array} } \right],\quad c = 1{,}5. $$

Wie lässt sich der Rechenaufwand bei der Berechnung des Matrizenprodukts minimieren?

1.3

Bilden Sie die Inverse folgender Matrizen:

$$ \underline{A} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 6 & { - 5} \\ { - 2} & 2 \\ \end{array} } \right],\quad \underline{B} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {10} & 0 & 2 \\ 0 & {0{,}5} & 0 \\ 5 & 0 & 2 \\ \end{array} } \right],\quad \underline{C} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {10} & 2 \\ 5 & 2 \\ \end{array} } \right] $$

Zeigen Sie, dass gilt:

• a) A · A⁻¹ = B ·B⁻¹ = I

• b) (A · C)⁻¹ = C⁻¹· A⁻¹

1.4

Ermitteln Sie die Determinanten der in Aufgabe 1.3 angegebenen Matrizen A, B und C sowie von deren Inversen.

1.5

Überprüfen Sie die Lösbarkeit folgender Gleichungssysteme:

• $\begin{array}{*{20}{l}} {\text{a}})\;{6 \cdot {x_1} - 5 \cdot {x_2}}&{ = 4} \\ \;\;\;{ - 2 \cdot {x_1} + 2 \cdot {x_2}}&{ = 1} \\\\ {\text{b}})\;{10 \cdot {x_1} + 2 \cdot {x_3}}&{ = 5} \\ \;\;\;\;{0,5 \cdot {x_2}}&{ = 2} \\ \; \;\;\;{5 \cdot {x_1} + 2 \cdot {x_3}}&{ = 2{,}5} \\\\ {\text{c}})\; {10 \cdot {x_1} + 2 \cdot {x_3}}&{ = 5} \\ \;\;\;\;{0{,}5 \cdot {x_2}}&{ = 2} \\ \;\;\;\; { - 5 \cdot {x_1} - {x_3}}&{ = 2{,}5} \\\\{\text{d}}) \; {10 \cdot {x_1} + 2 \cdot {x_3}}&{ = 5} \\ \;\;\;\;{0{,}5 \cdot {x_2}}&{ = 2} \\ \;\;\;\;{ - 5 \cdot {x_1} - {x_3}}&{ = - 2{,}5} \end{array}$

1.6

Lösen Sie das Gleichungssystem

$$\begin{array}{*{20}{l}} {103850}& \cdot&{ {x_1} +\;\,5160}&\cdot &{{x_2} + \;\;52000}&\cdot &{{x_3} = - 150} \\ { \,\;\;\;5160}&\cdot &{ {x_1} + 43290}&\cdot &{ {x_2} + \;\;24510}&\cdot &{ {x_3} = \,86,6} \\ {\,\;\,52000}&\cdot &{ {x_1} + 24510}&\cdot &{ {x_2} + \,204370}& \cdot &{{x_3} = - 100} \end{array}$$

mit dem Gaußschen Verfahren. Geben Sie die Matrizen $\underline{L}$ und $\underline{D}$ an.

1.7

Ermitteln Sie die Euklidsche Norm bzw. die Frobeniusnorm von

$$ \underline{A} = \left[ {\begin{array}{*{20}r} 6 & { - 5} \\ { - 2} & 2 \\ \end{array} } \right],\quad \underline{B} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {10} & 0 & 2 \\ 0 & {0{,}5} & 0 \\ 5 & 0 & 2 \\ \end{array} } \right],\quad \underline{C} = \left[ {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ { - 1} \\ 5 \\ 2 \\ \end{array} } \right] $$

.

1.8

Ermitteln Sie die Determinanten und die Konditionszahlen der Koeffizientenmatrizen folgender Gleichungssysteme:$\begin{array}{*{20}{l}}{{\text{a}})}&{10 \cdot {x_1} + 2 \cdot {x_3}}&{ = 5} \\ {}&{0{,}5 \cdot {x_2}}&{ = 2} \\ {}&{ - 5 \cdot {x_1} - {x_3}}&{ = 2{,}5} \\\\ {{\text{b}})}&{10 \cdot {x_1} + 2 \cdot {x_3}}&{ = 5} \\ {}&{0{,}5 \cdot {x_2}}&{ = 2} \\ {}&{ - 5{,}01 \cdot {x_1} - {x_3}}&{ = 2{,}5} \\\\ {{\text{c}})}&{10 \cdot {x_1} + 2 \cdot {x_3}}&{ = 5} \\ {}&{0{,}5 \cdot {x_2}}&{ = 2} \\ {}&{ - 5 \cdot {x_1} - {x_3}}&{ = 2{,}5} \end{array}$

1.9

• a) Geben Sie für das Eigenwertproblem

$$ \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}c} {36} & 6 \\ 6 & {12} \\ \end{array} } \right] - \lambda \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}c} {72} & 0 \\ 0 & 8 \\ \end{array} } \right]} \right) \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right] $$

das charakteristische Polynom an und bestimmen Sie alle Eigenwerte.

• b) Ermitteln Sie die zugehörigen, auf den Maximalwert 1 normierten Eigenvektoren.

• c) Weisen Sie nach, dass die Eigenvektoren die Orthogonalitätsbedingungen erfüllen.

• d) Normieren Sie die Eigenvektoren bezogen auf die $\underline{B}$-Matrix.

1.10

Ermitteln Sie den Eigenwert und den Eigenvektor des Eigenwertproblems in Aufgabe 1.9 iterativ mithilfe der Iterationsvorschrift der Inversen Iteration und dem Rayleigh-Quotienten. Als Startvektor ist $\left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ \end{array} } \right]$ zu verwenden. Führen Sie 4 Iterationsschritte durch und normieren Sie den Iterationsvektor nach jeder Iteration auf den Maximalwert 1.

1.11

Ermitteln Sie die Lösung der Gleichung

$$ A(x) \cdot x = 800{\kern 1pt} \quad {\text{mit}}\quad A(x) = \frac{400}{{\sqrt x }} + 10 $$

mit dem Startwert $x = 1$ nach dem Sekantenverfahren. Wie viele Iterationen $k$ sind mindestens erforderlich, damit der relative Fehler $\left| {x^{(k)} - x^{(k - 1)} } \right|/\left| {x^{(k)} } \right| < 0{,}01$ beträgt?

1.12

Lösen Sie folgende Gleichung nach dem Sekantenverfahren:

$$ 100 \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}r} 2 & { - 1} \\ { - 1} &\;\; {1 + 10 \cdot \sqrt {x_{2} } } \\ \end{array} } \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ {1{,}5} \\ \end{array} } \right] $$

Als Startwert soll $\left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ 6 \\ \end{array} } \right] \cdot 10^{ - 3}$ verwendet werden, es sind 3 Iterationen durchzuführen. Wie groß ist der relative Fehler $\varepsilon_{x}$ des letzten Iterationsschrittes, gemessen in der Euklidschen Norm?

1.13

Ermitteln Sie die Lösung der in Aufgabe 1.11 angegebenen Gleichung mit dem Startwert $x = 1$ nach dem Newton-Raphson-Verfahren. Wie viele Iterationen $k$ sind mindestens erforderlich damit der relative Fehler $\left| {x^{(k)} - x^{(k - 1)} } \right|/\left| {x^{(k)} } \right| < 0{,}01$ beträgt?

1.14

Ermitteln Sie die Lösung der in Aufgabe 1.11 angegebenen Gleichung mit dem Startwert $x = 1$ nach dem Modifizierten Newton-Raphson-Verfahren. Wie viele Iterationen $k$ sind mindestens erforderlich damit der relative Fehler $\left| {x^{(k)} - x^{(k - 1)} } \right|/\left| {x^{(k)} } \right| < 0{,}01$ beträgt?

Lösungen

1.1

• a) $\begin{gathered} 460 \cdot x_{1} - 226 \cdot x_{2} = 20 \hfill \\ 608 \cdot x_{1} - 302 \cdot x_{2} = 10 \hfill \\ \end{gathered}$

• b)
  $$ \underline{x} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ \end{array} } \right]\quad \underline{y} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \\ \end{array} } \right]\quad \underline{z} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {z_{1} } \\ {z_{2} } \\ \end{array} } \right]\quad \underline{b} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {20} \\ {10} \\ \end{array} } \right] $$
  $$ \underline{A} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {10} & { - 4} \\ { - 8} & { - 1} \\ \end{array} } \right]\quad \;\;\;\underline{A} \cdot \underline{x} = \underline{y} $$
  $$ \underline{B} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {10} & 2 \\ 6 & 1 \\ \end{array} } \right]\quad \;\;\;\underline{B} \cdot \underline{y} = \underline{z} $$
  $$ \underline{C} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 3 & 4 \\ 6 & 2 \\ \end{array} } \right]\quad \;\;\;\underline{C} \cdot \underline{z} = \underline{b} $$
  $$ \underline{C} \cdot \underline{B} \cdot \underline{A} \cdot \underline{x} = \underline{b} \quad {\text{mit}}\quad \underline{C} \cdot \underline{B} \cdot \underline{A} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {460} & { - 226} \\ {608} & { - 302} \\ \end{array} } \right] $$

1.2

$$ \underline{C} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {78} & {180} \\ {180} & {432} \\ \end{array} } \right] $$

Minimierung des Rechenaufwandes: $\underline{D} = \underline{B} \cdot \underline{A} \to \underline{C}^{*} = \underline{D}^{\text{T}} \cdot \underline{D} \to \underline{C} = c \cdot \underline{C}^{*}$.

1.3

$$\begin{array}{*{20}{l}} {{\text{a}})}&{{{\underline{A} }^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{2{,}5} \\ 1&3 \end{array}} \right],\quad {{\underline{B} }^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0{,}2}&0&{ - 0{,}2} \\ 0&2&0 \\ { - 0{,}5}&0&1 \end{array}} \right],}&{ \to \quad \underline{A} \cdot {{\underline{A} }^{ - 1}} = \underline{\text{I}} } \\\\ {{\text{b}})}&{{{\underline{C} }^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0{,}2}&{ - 0{,}2} \\ {0{,}5}&1 \end{array}} \right],\quad {{\left( {\underline{A} \cdot \underline{C} } \right)}^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 0{,}1} \\ {0{,}5}&{1{,}75} \end{array}} \right],}&{} \\\\ {}&{\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\;\;\;\;\;\,\,{{\underline{C} }^{ - 1}} \cdot {{\underline{A} }^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 0{,}1} \\ {0{,}5}&{1{,}75} \end{array}} \right]}&{ \to \quad {{\left( {\underline{A} \cdot \underline{C} } \right)}^{ - 1}} = {{\underline{C} }^{ - 1}} \cdot {{\underline{A} }^{ - 1}}} \end{array}$$

1.4

$$ \begin{array}{*{20}l} {\text{det}(\underline{A}) = 2} & {\text{det}(\underline{B}) = 5} \quad\quad\quad\quad & {\text{det}(\underline{C}) = 10} \\ {\text{det}(\underline{A}^{ - 1}) = 0{,}5} \quad\quad\quad & {\text{det}(\underline{B}^{ - 1}) = 0{,}2} & {\text{det}(\underline{C}^{{-1}}) = 0{,}1} \\ \end{array} $$

1.5

• a) eindeutige Lösung

• b) eindeutige Lösung

• c) keine Lösung

• d) keine eindeutige Lösung (aber unendlich viele Lösungen: $x_{2} = 4,\;\;x_{1} = 0{,}5 - 0{,}2 \cdot x_{3} \;\;{\text{f}}\ddot{\text{u}}{\text{r\;alle}}\;x_{3}$)

1.6

$$ \underline{L} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {{1}{\text{,00000}}} \;\;&\;\; {{0}{\text{,00000}}} \;\;&\;\; {{0}{\text{,00000}}} \\ {{0}{\text{,04969}}} \;\;&\;\; {{1}{\text{,00000}}} \;\;&\;\; {{0}{\text{,00000}}} \\ {{0}{\text{,50072}}} \;\;&\;\; {{0}{\text{,50952}}} \;\;&\;\; {{1}{\text{,00000}}} \\ \end{array} } \right],\quad \underline{D} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {{1}{\text{,038}}} \;\;&\;\; {{0}{\text{,000}}} \;\;&\;\; {{0}{\text{,000}}} \\ {{0}{\text{,000}}} \;\;&\;\; {{0}{\text{,430}}} \;\;&\;\; {{0}{\text{,000}}} \\ {{0}{\text{,000}}} \;\;&\;\; {{0}{\text{,000}}} \;\;&\;\; {{1}{\text{,672}}} \\ \end{array} } \right] \cdot 10^{5} $$

$$ x_{1} = - 13{,}46 \cdot 10^{ - 4}, \quad x_{2} = 24{,}08 \cdot 10^{ - 4}, \quad x_{3} = - 4{,}35 \cdot 10^{ - 4} $$

1.7

$$ \left\| \underline{A} \right\| = 8{,}31,\quad \left\| \underline{B} \right\| = 11{,}54,\quad \left\| \underline{c} \right\| = 5{,}83 $$

1.8

• a) $\text{det}(\underline{A} ) = 5,\quad \kappa (\underline{A} ) = 26{,}26$

• b) $\text{det}(\underline{B} ) = 0{,}01,\quad \kappa (\underline{B} ) = 6511$

• c) $\text{det}(\underline{C} ) = 0,\quad \kappa (\underline{C} )$ nicht definiert, da $\underline{C}$ singulär.

1.9

• a) $\lambda^{2} - 2 \cdot \lambda + \frac{11}{{16}} = 0,\quad \lambda_{1} = 0{,}440983,\quad \lambda_{2} = 1{,}559017$

• b) $\underline{x}_{1} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ { - 0{,}708204} \\ \end{array} } \right],\quad \underline{x}_{2} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {0{,}078689} \\ 1 \\ \end{array} } \right]$

• c) $\begin{array}{l} {\underline{x}_{1}^{\text{T}} \cdot \underline{B} \cdot x_{1} = 76{,}012423}\;\;\;\;\quad\;\;\; {\underline{x}_{1}^{\text{T}} \cdot \underline{B} \cdot x_{2} = - 2{,}4 \cdot 10^{ - 5} \approx 0,} \\\\ {\underline{x}_{2}^{\text{T}} \cdot \underline{B} \cdot x_{1} = - 2{,}4 \cdot 10^{ - 5} \approx 0},\;\;\; {\underline{x}_{2}^{\text{T}} \cdot \underline{B} \cdot x_{2} = 8{,}445821} \end{array}$

• d) $\underline{{\tilde{x}}}_{1} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {0{,}114698} \\ { - 0{,}08123} \\ \end{array} } \right],\quad \;\;\;\underline{{\tilde{x}}}_{2} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {0{,}027077} \\ {0{,}344096} \\ \end{array} } \right]$

1.10

Startvektor: $\underline{x}^{(0)} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ \end{array} } \right],\quad \underline{A}^{ - 1} \cdot \underline{B} = \left[ {\begin{array}{*{20}r} {2{,}181818} & { - 0{,}121212} \\ { - 1{,}090909} & {0{,}727273} \\ \end{array} } \right]$

• 1. Iteration: $\underline{x}^{(1)} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ { - 0{,}176471} \\ \end{array} } \right],\quad \lambda^{(1)} = 0{,}474138$

• 2. Iteration: $\underline{x}^{(2)} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ { - 0{,}553398} \\ \end{array} } \right],\quad \lambda^{(2)} = 0{,}443710$

• 3. Iteration: $\underline{x}^{(3)} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ { - 0{,}664050} \\ \end{array} } \right],\quad \lambda^{(3)} = 0{,}441202$

• 4. Iteration: $\underline{x}^{(4)} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ { - 0{,}695685} \\ \end{array} } \right],\quad \lambda^{(4)} = 0{,}441001$

1.11

$k$	$x^{(k)}$	$\left| {x^{(k)} - x^{(k - 1)} } \right|/\left| {x^{(k)} } \right|$
1	1,951	0,488
2	2,699	0,277
3	3,156	0,145
4	3,402	0,072
5	3,526	0,035
6	3,597	0,017
7	3,617	0,008

1.12

$$ \underline{x}^{(3)} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {5{,}092} \\ {10{,}18} \\ \end{array} } \right] \cdot 10^{ - 3} ,\quad \varepsilon_{x} = 0{,}071 $$

1.13

$k$	$x^{(k)}$	$\left| {x^{(k)} - x^{(k - 1)} } \right|/\left| {x^{(k)} } \right|$
1	2,8571	0,650
2	3,5998	0,206
3	3,6438	0,012
4	3,6439	0,00003

1.14

$k$	$x^{(k)}$	$\left| {x^{(k)} - x^{(k - 1)} } \right|/\left| {x^{(k)} } \right|$
1	2,8571	0,650
2	3,3110	0,137
3	3,4969	0,053
4	3,5780	0,023
5	3,6142	0,010
6	3,6305	0,004