Hauptidealringe. Euklidische Ringe

Zusammenfassung

Im vorliegenden Kapitel untersuchen wir Hauptidealringe (das sind Integritätsbereiche, in denen jedes Ideal ein Hauptideal ist) und euklidischen Ringe (das sind Integritätsbereiche, die einen euklidischen Betrag haben). Sowohl Hauptidealringe als auch euklidische Ringe sind faktorielle Ringe. Die Hauptaussagen dieses Kapitels lassen sich prägnant zusammenfassen: Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring, und jeder Hauptidealring ist ein faktorieller Ring. In Hauptidealringen und in euklidischen Ringen fallen also die Begriffe Primelement und unzerlegbares Element zusammen. Weiter zeigen wir, dass für jeden Körper K der Polynomring K[X] euklidisch ist. Polynomringe über Körpern sind damit insbesondere Hauptidealringe und faktoriell.