Beanspruchungsarten – Wie man Spannungen und Verformungen berechnet

Kapitelvorwort

Wie berechnet man aus Schnittgrößen Spannungen und Verformungen?

Wozu dient dabei der Mohr’sche Spannungskreis?

Warum platzen Brühwürstchen stets in Längsrichtung auf?

In diesem Kapitel behandeln wir nacheinander die vier Grundbeanspruchungsarten eines Balkens – Zug/Druck, Biegung, Schub durch Querkraft und Torsion – sowie die Druckbelastung kreiszylindrischer Behälter. Im Mittelpunkt werden jeweils die Fragen stehen, welche Spannungen im Bauteil auftreten und wie es sich verformt. Danach wird es schließlich um Bauteile gehen, die einer überlagerten Beanspruchung der behandelten Grundbeanspruchungsarten ausgesetzt sind.

Appendices

Antworten zu den Verständnisfragen

Antwort 5.1

Wenn das Eigengewicht des Stabes nicht vernachlässigbar ist, ist $N(x)$ veränderlich und die Verlängerungsberechnung muss durch Integration erfolgen.

Antwort 5.2

Weil viel Werkstoff in den Randfasern angebracht ist (durchgehende horizontale Stäbe) und wenig Werkstoff in Trägermitte (Diagonalstreben mit viel Luft dazwischen). Das Material ist also überwiegend da eingesetzt, wo es Biegespannungen ausüben und so dem angreifenden Biegemoment Widerstand leisten kann.

Antwort 5.3

Nehmen Sie einen Träger mit einem sehr schlanken Rechteckquerschnitt, z. B. einen Streifen Papier. Wenn Sie diesen mit flacher Querschnittorientierung (die Papierstärke ist also die Trägerhöhe) wie einen Kragträger in der Hand halten, so hängt er schlaff nach unten. Halten Sie den Papierstreifen dagegen mit hochkant stehendem Querschnitt in der Hand, geschieht das nicht, da nun die im Vergleich zur Papierstärke sehr viel größere Streifenbreite die Trägerhöhe ist und dem Träger ein sehr viel größeres axiales Flächenträgheitsmoment verleiht.

Antwort 5.4

Bei Doppel-T-Trägern befindet sich besonders viel Material weit weg von der neutralen Faser, also genau da, wo sich nennenswerte Biegespannungen bilden können, die dem angreifenden Biegemoment wirkungsvoll Paroli bieten können.

Antwort 5.5

Die Verformung einer Angelrute kann, wenn ein kapitaler Fisch anbeißt, leicht ähnlich groß wie ihre Länge sein und ist damit nicht mehr klein. In der analytischen Beschreibung der Krümmung,

$$\displaystyle\frac{1}{\rho}=-\frac{\frac{\text{d}^{2}w}{\text{d}x^{2}}}{\Bigl[1+\left(\frac{\text{d}w}{\text{d}x}\right)^{2}\Bigr]^{3/2}},$$

kann $\left(\text{d}w/\text{d}x\right)^{2}$ dann nicht mehr vernachlässigt werden, und es ergibt sich die auch für große Verformungen gültige Differenzialgleichung

$$\displaystyle\frac{\text{d}^{2}w/\text{d}x^{2}}{\Bigl[1+\left(\frac{\text{d}w}{\text{d}x}\right)^{2}\Bigr]^{3/2}}=-\frac{M}{E\leavevmode\nobreak\ I_{y}}.$$

Antwort 5.6

Auch an Fest- und Loslagern kann sich ein Träger nicht absenken. Im Gegensatz zur festen Einspannung kann er sich aber um den Lagerpunkt drehen, d. h. die Trägerneigung wird bei Belastung ungleich null sein. Die einzige Randbedingung eines Fest- oder Loslagers ist somit $w(x_{0})=0$, wobei x ₀ die Stelle der Lagerung ist.

Antwort 5.7

Nur in sehr kurzen Bauteilen, wie z. B. Niet- oder Bolzenverbindungen.

Antwort 5.8

Wir müssen einen kreisrunden Topf mit Wasser füllen, kräftig umrühren, Papierschnipsel einstreuen und das Profil der Strömungsgeschwindigkeit beurteilen. Sie werden sehen: In der Mitte ist die Strömungsgeschwindigkeit gleich null (In welche Richtung sollte das Wasser auch fließen?), am Rand fließt das Wasser am schnellsten, und zwischendrin nimmt die Geschwindigkeit von der Mitte zum Rand hin linear zu. Letzteres lässt sich daran erkennen, dass die Papierschnipsel sich nicht überholen, sich also mit konstanter Winkelgeschwindigkeit bewegen.

Antwort 5.9

Als Analogie für den Kraftfluss im tordierten Träger betrachten wir einen in sich geschlossenen Kanal, in dem Wasser zirkuliert. Damit sich das Wasser an keiner Stelle des Kanals staut, muss es in engen Bereichen entsprechend schneller fließen als in breiten. In der Flüssigkeitsströmung ist deshalb das Produkt aus Strömungsgeschwindigkeit und Breite konstant, sodass im tordierten Träger das Produkt aus Schubspannung τ und Wandstärke t, eben der Schubfluss, konstant ist.

Antwort 5.10

Das Besondere an Slinky ist, dass es so schön langsam schwingt. Andere Schraubenfedern, beispielsweise die Federn eines Garagentors, schwingen um ein Vielfaches schneller, viel zu schnell, um ihnen geruhsam zuzuschauen. In Analogie zur Eigenfrequenz eines Feder-Masse-Systems, die gemäß

$$\displaystyle\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{c}{m}}$$

von der Federsteifigkeit c und der angehängten Masse m abhängt, ist die Eigenfrequenz einer Feder umso niedriger, je kleiner die Federkonstante und je größer die Dichte des Federwerkstoffs – und damit die Masse der Feder – sind.

Für die Federsteifigkeit hatten wir

$$\displaystyle c=\frac{GI_{\text{T}}}{2\pi R^{3}n}.$$

hergeleitet. Können wir daraus Rückschlüsse ziehen, welche Drahtquerschnitte für Slinky am geeignetsten sind? Nun, Slinky soll langsam schwingen und deshalb bei großer Masse m eine kleine Federsteifigkeit c aufweisen. In die Gleichung für die Federsteifigkeit geht der Drahtquerschnitt allein über das Torsionsträgheitsmoment $I_{\text{T}}$ ein. Günstig sind deshalb Querschnitte mit einem kleinen Torsionsträgheitsmoment bei großer Querschnittsfläche (im Interesse großer Masse), und dies ist am Besten bei dünnwandigen offenen Profilen gegeben.

Genau so ist Slinky auch tatsächlich aufgebaut. Im Gegensatz zu gewöhnlichen Schraubenfedern, die aus rundem Draht gewickelt sind, besitzt Slinky einen dünnen Rechtecksquerschnitt.

Antwort 5.11

Der Stab würde entlang der Ebenen der größten Schubspannungen versagen und somit stumpf durchbrechen. Dieser Versuch lässt sich übrigens recht schön mit einer Christbaumkerze aus Wachs nachvollziehen.

Aufgaben

Im Folgenden finden Sie Aufgaben zu dem im Kapitel besprochenen Thema. Wenn es sich um Rechenaufgaben handelt, ist der Schwierigkeitsgrad angegeben (• leicht, •• mittel, ••• schwer), und eine Ergebniszeile zeigt das zu erwartende Ergebnis.

Die Lösungen zu allen Aufgaben finden Sie auf der Internetseite des Buches.

5.1

• Ein Bergsteiger wird an einem 300 m langen Seil in die Tiefe abgeseilt. Das Gewicht des Bergsteigers betrage 800 N. Das Seil habe ein spezifisches Gewicht von $\gamma=0{,}7\,\text{N}/\text{m}$ (Kraft pro laufende Seillänge). Zur Ermittlung der Struktursteifigkeit $E\,A$ wurde zuvor im Labor ein Zugversuch durchgeführt. Bei einer Belastung von 1000 N dehnte sich dabei das Seil um 2 %.

• 1. Bestimmen Sie den Verlauf der Normalkraft $N(z)$ im Seil.

• 2. Bestimmen Sie aus dem Ergebnis des Laborversuchs die Struktursteifigkeit $E\,A$ des Seils.

• 3. Bestimmen Sie die Längenänderung des den Bergsteiger haltenden Seils.

Resultat:

• 1. $N(z)=800\,\text{N}+0{,}7\,\frac{\text{N}}{\text{m}}\left(300\,\text{m}-z\right)$.

• 2. $E\,A=50\,\text{kN}$.

• 3. $\Updelta l=5{,}43\,\text{m}$.

5.2

•• Die Cheops-Pyramide in Gizeh ist mit einer Höhe von 145 m und einer quadratischen Grundfläche der Abmessungen $229\,\text{m}\times 229\,\text{m}$ die höchste Pyramide der Welt. Betrachten Sie die Pyramide in dieser Aufgabe bitte sehr grob vereinfachend als einen homogenen Druckstab mit veränderlichem Querschnitt, der durch sein Eigengewicht belastet wird.

Materialparameter: Elastizitätsmodul $E=20.000\,\text{MPa}$, spezifisches Gewicht $\gamma=22.000\,\frac{\text{N}}{\text{m}^{3}}$.

• 1. Berechnen Sie den Verlauf der Normalkraft $N(z)$ in der Pyramide.

• 2. Berechnen Sie den Verlauf der Normalspannung $\sigma(z)$ in der Pyramide. An welcher Stelle ist $\sigma(z)$ maximal? Wie groß ist der Maximalwert?

• 3. Um wie viele Millimeter wird die Pyramide allein durch ihr Eigengewicht gestaucht?

Hinweis:

• Beachten Sie, dass die Koordinate z ihren Ursprung in der Spitze der Pyramide hat.

• Die Berechnungsformel für das Volumen V einer Pyramide lautet

  $$\displaystyle V=\frac{1}{3}\cdot\text{H{\"o}he}\cdot\text{Grundfl{\"a}che}.$$

Resultat:

• 1. $N(z)=-18.291\,\frac{\text{N}}{\text{m}^{3}}\cdot z^{3}$.

• 2. $\sigma(z)=-7333\,\frac{\text{N}}{\text{m}^{3}}\cdot z$.

  $\sigma(z)$ wird an der Basis maximal, $\sigma(z)_{\text{max}}=-1\,\text{MPa}.$

• 3. $\Updelta l=-3{,}85\,\text{mm}$.

5.3

•• Eine Zugprobe bestehe aus einem zylindrischen Kern aus Stahl des Durchmessers 10 mm und einer 1 mm starken Beschichtung aus Emaille. Die Länge der Probe betrage 100 mm.

Berechnen Sie

• 1. die Spannungen in Stahlkern und Emailleschicht sowie

• 2. die Verformung $\Updelta\,l$ der Probe,

wenn die Zugkraft auf die Probe $F=15\,\text{kN}$ beträgt.

Materialparameter: $E_{\text{Stahl}}=205.000\,\text{MPa}$, $E_{\text{Emaille}}=70.000\,\text{MPa}$.

Hinweis:

Die Vorgehensweise bei dieser Aufgabe ist wie bei einer Schraubenberechnung, denn so wie sich Schraube und Platte unter einer Betriebslast um den gleichen Betrag dehnen, dehnen sich auch Stahlsubstrat und Emailleschicht gleich stark.

Resultat: $\sigma_{\text{Stahl}}=166\,\text{MPa}$, $\sigma_{\text{Emaille}}=57\,\text{MPa}$,$\Updelta\,l=81\,\upmu\text{m}$.

5.4

• Die abgebildete Schraube soll die Betriebskraft $F_{\text{A}}=20\,\text{kN}$ aufnehmen. Betrachten Sie die Schraube als einen zylindrischen Stab des Durchmessers 16 mm mit einer Klemmlänge von 64 mm und die Platten als Hohlzylinder mit dem Innendurchmesser 18 mm und dem effektiven Außendurchmesser 32 mm. Schrauben und Platten bestehen aus Stahl (Elastizitätsmodul $E_{\text{P}}=205.000\,\text{MPa}$).

• 1. Berechnen Sie die auf die Schraube wirkende Kraft $F_{\text{SA}}$.

• 2. Zeichnen Sie für eine Vorspannkraft von $F_{\text{V}}=35\,\text{kN}$ das Verspannungsdreieck.

Resultat: $F_{\text{SA}}=10{,}34\,\text{kN}$.

5.5

• Gegeben ist der folgende spiegelsymmetrische Flächenquerschnitt (alle Abmessungen in mm):

• 1. Bestimmen Sie die Koordinaten des Flächenschwerpunktes.

• 2. Die y-Achse sei nun diejenige horizontale Achse, die durch den soeben berechneten Flächenschwerpunkt verläuft. Berechnen Sie das Flächenträgheitsmoment I _y .

Resultat:

• 1. Der Flächenschwerpunkt liegt 31 mm oberhalb der Profilunterkante.

• 2. $I_{y}=552.245\,\text{mm}^{4}$.

5.6

• Ein Kragträger aus Stahl ($\rho=8000\,\text{kg}/\text{m}^{3}$) der Länge l des abgebildeten T-förmigen Querschnitts wird durch sein Eigengewicht belastet.

Bei der zu ermittelnden maximal zulässigen Länge des Trägers $l_{\text{max}}$ wird an der Einspannstelle gerade die zulässige Spannung $\sigma_{\text{zul}}=200\,\text{MPa}$ erreicht.

• 1. Bestimmen Sie das für die Durchbiegung des Trägers maßgebliche Flächenträgheitsmoment I _y des T-Profils.

• 2. Wie groß ist die sich aus Dichte, Querschnitt und Erdbeschleunigung ergebende Streckenlast q ₀, die den Träger belastet? Setzen Sie für die Erdbeschleunigung $9{,}81\,\text{m}/\text{s}^{2}$ an.

• 3. Wie groß ist $l_{\text{max}}$?

Hinweis:

Zur Berechnung von q ₀: Wie viele Newton wiegt ein laufender Meter des Trägers?

Resultat:

• 1. $I_{y}=233.286\,\text{mm}^{4}$.

• 2. $q_{0}=A\,\rho\,g=53{,}68\,\text{N}/\text{m}$.

• 3. $l_{\text{max}}=6{,}37\,\text{m}$.

5.7

•• Ein im Punkt A los- und im Punkt B festgelagerter Träger der Länge l wird durch eine dreieckförmige Streckenlast sowie in Trägermitte durch eine Punktlast belastet.

• 1. Berechnen Sie den Verlauf der Schnittgrößen $N(x)$, $Q(x)$ und $M(x)$.

• 2. Bestimmen Sie den Verlauf der Durchbiegung $w(x)$.

• 3. Es gelten nun für Geometrie und Belastung die unten aufgeführten konkreten Werte. Wie groß ist die Randfaserspannung in Trägermitte?

Zahlenwerte: Länge $l=1\,\text{m}$, Trägerquerschnitt: 30 mm Höhe und 20 mm Breite, $F=500\,\text{N}$, $q_{\text{max}}=600\,\text{N}/\text{m}$.

Resultat:

• 1. $N_{\text{I}}(x)=N_{\text{II}}(x)=0$.

  $Q_{\text{I}}(x)=\frac{F}{2}+\frac{q_{\text{max}}\,l}{6}-\frac{q_{\text{max}}\,x^{2}}{2\,l}$.

  $Q_{\text{II}}(x)=-\frac{F}{2}+\frac{q_{\text{max}}\,l}{6}-\frac{q_{\text{max}}\,x^{2}}{2\,l}$.

  $M_{\text{I}}(x)=\Bigl(\frac{F}{2}+\frac{q_{\text{max}}\,l}{6}\Bigr)x-\frac{q_{\text{max}}\,x^{3}}{6\,l}$.

  $M_{\text{II}}(x)=\Bigl(\frac{F}{2}+\frac{q_{\text{max}}\,l}{6}\Bigr)x-F\Bigl(x-\frac{l}{2}\Bigr)-\frac{q_{\text{max}}\,x^{3}}{6\,l}$.

• 2.
  $$\begin{aligned}w(x)&=\frac{F\,l^{3}}{48\,E\,I_{y}}\Bigl[3\frac{x}{l}-4\Bigl(\frac{x}{l}\Bigr)^{3}\Bigr]\\ &\quad\,+\frac{q_{\text{max}}\,l^{4}}{360\,E\,I_{y}}\Bigl[7\frac{x}{l}-10\Bigl(\frac{x}{l}\Bigr)^{3}+3\Bigl(\frac{x}{l}\Bigr)^{5}\Bigr].\end{aligned}$$

• 3. $\sigma\left(\frac{l}{2}\right)=54\,\text{MPa}$.

5.8

• Für den sikizzierten Träger sollen die Spannungen und die Durchbiegung berechnet werden.

Zahlenangaben: Elastizitätsmodul $E = 12.000\,\text{MPa}$ (Holz), Querschnitt $b\times h=200\,\text{mm}\times 150\,\text{mm}$.

Zahlenangaben: Elastizitätsmodul $E = 12.000\,\text{MPa}$ (Holz), Querschnitt $b\times h=200\,\text{mm}\times 150\,\text{mm}$.

• 1. Berechnen Sie den Verlauf des Biegemoments $M(x)$ im Träger. An welcher Stelle nimmt $M(x)$ seinen Maximalwert ein, und wie groß ist dieser?

• 2. Wie groß ist die Randfaserspannung in der Balkenmitte?

• 3. Berechnen Sie durch zweifache Integration der Differenzialgleichung der elastischen Linie die Durchbiegung $w(x)$ des Trägers. Wie groß ist die Durchbiegung in der Balkenmitte?

Hinweis:

Rechnen Sie so lange wie möglich mit Formelzeichen, und setzen Sie Zahlenwerte erst zum Schluss ein.

Resultat:

• 1. $M(x)=\frac{1}{2}\,q_{0}\,l\,x-\frac{1}{2}\,q_{0}\,x^{2}$.

  Maximales Biegemoment in Balkenmitte mit $M_{\text{max}}=4687{,}5\,\text{N\,m}$.

• 2. $\sigma=6{,}25\,\text{MPa}$.

• 3. $w(x)=\frac{q_{0}\,l^{4}}{24\,E\,I_{y}}\Bigl[\Bigl(\frac{x}{l}\Bigr)^{4}-2\Bigl(\frac{x}{l}\Bigr)^{3}+\frac{x}{l}\Bigr]$.

  In Balkenmitte ist $w=18{,}1\,\text{mm}$.

5.9

•• Zur Ermittlung von Festigkeit und Elastizitätsmodul eines spröden Werkstoffs wird eine Probe rechteckigen Querschnitts in einem 3-Punkt-Biegeversuch bis zum Bruch belastet. Eine Skizze des Versuchs und das im Versuch gemessene Kraft-Verformungs-Diagramm (F: Belastung der Probe; w: Durchbiegung in der Probenmitte) sind Ihnen wie folgt gegeben:

• 1. Berechnen Sie den Verlauf des Biegemoments $M(x)$ in der Probe. Wie groß ist das Biegemoment in der Probenmitte?

• 2. Wie lautet der Zusammenhang zwischen der maximalen Kraft $F_{\text{max}}$ und der Festigkeit $\sigma_{\text{max}}$ des Werkstoffs?

• 3. Berechnen Sie durch zweifache Integration der Differenzialgleichung der elastischen Linie die Durchbiegung $w(x)$ des Trägers.

• 4. Wie lautet der Zusammenhang zwischen der maximalen Kraft $F_{\text{max}}$ und der Durchbiegung $w_{\text{max}}$ in der Probenmitte?

• 5. Es seien nun $l=60\,\text{mm}$, $b=5\,\text{mm}$, $h=10\,\text{mm}$, $F_{\text{max}}=2{,}2\,\text{kN}$ und $w_{\text{max}}=0{,}085\,\text{mm}$. Wie groß sind Festigkeit $\sigma_{\text{max}}$ und Elastizitätsmodul E des Werkstoffs?

Hinweis:

Sie können sich bei der zweifachen Integration der Differenzialgleichung der Biegelinie aus Symmetriegründen auch auf den halben Träger beschränken. Beachten Sie dann anstelle der 2. Randbedingung, dass sich der Träger in der Mitte aus Symmetriegründen mit horizontaler Tangente durchbiegt.

Resultat:

• 1. linke Probenhälfte: $M_{\text{I}}(x)=\frac{F}{2}\Bigl(\frac{l}{2}+x\Bigr)$

  rechte Probenhälfte: $M_{\text{II}}(x)=\frac{F}{2}\Bigl(\frac{l}{2}-x\Bigr)$, $M\left(x=0\right)=\frac{1}{4}\,F\,l$

• 2. $\sigma_{\text{max}}=\frac{3}{2}\frac{F_{\text{max}}\,l}{b\,h^{2}}$

• 3. $w(x)=-\frac{F}{12\,E\,I_{y}}\Bigl(\frac{l}{2}-x\Bigr)^{3}-\frac{F\,l^{2}\,x}{16\,E\,I_{y}}+\frac{F\,l^{3}}{32\,E\,I_{y}}$

• 4. $E=\frac{F_{\text{max}}\,l^{3}}{48\,w_{\text{max}}\,I_{y}}$

• 5. $\sigma_{\text{max}}=396\,\frac{\text{N}}{\text{mm}^{2}}$, $E=280.000\,\text{MPa}$

5.10

•• Ein statisch überbestimmt gelagerter Träger wird durch eine konstante Streckenlast q ₀ belastet. Gegeben seinen q ₀ und l.

Berechnen Sie die Lagerreaktionen.

Hinweis:

Ersetzen Sie das Loslager durch seine Lagerreaktion und zerlegen Sie diesen Lastfall sodann in zwei Einzellastfälle, die Streckenlast q ₀ und die Punktlast der Lagerreaktion, deren Durchbiegungen sich an der Stelle des Loslagers zu null überlagern müssen.

Resultat: $A_{x}=0,\ A_{y}=\frac{5}{8}q_{0}\,l,\ M_{\text{A}}=\frac{1}{8}q_{0}\,l^{2},\ B_{y}=\frac{3}{8}q_{0}\,l$.

5.11

••• Ein 1 m langer Kragträger des Normprofils Z60 (Höhe 60 mm, Breite 85 mm) wird an seinem freien Ende durch die lotrechte Kraft $F=1\,\text{kN}$ belastet.

Der DIN 1027 kann man die folgenden Flächenträgheitsmomente entnehmen:

$$\displaystyle I_{\eta}=44{,}7\,\text{cm}^{4},\ I_{\zeta}=30{,}1\,\text{cm}^{4}\ \text{und}\ I_{\eta\zeta}=28{,}8\,\text{cm}^{4}.$$

• 1. Bestimmen Sie mit dem Mohr’schen Trägheitskreis die Hauptträgheitsmomente I _y und I _z und die Lage der Hauptträgheitsachsen.

• 2. Bestimmen Sie die Spannungen in den Punkten A und B.

Resultat:

• 1. $I_{y}=67{,}1\,\text{cm}^{4},\ I_{z}=7{,}7\,\text{cm}^{4},\ \varphi=37{,}9^{\circ}$.

• 2. $\sigma_{\text{A}}=-62\,\text{MPa},\ \sigma_{\text{B}}=62\,\text{MPa}$.

5.12

••• Berechnen Sie die durch eine Querkraft hervorgerufene Schubspannungsverteilung in einem Vollkreisquerschnitt des Radius R.

Hinweis:

Flächeninhalt und Schwerpunktskoordinate eines Kreisabschnitts betragen

$$\begin{aligned}A^{*}&=\frac{R^{2}}{2}\left(2\,\alpha-\sin\,2\,\alpha\right)\ \text{und}\\ z_{\text{S}}^{*}&=\frac{1}{A^{*}}\int\limits_{A^{*}}\tilde{z}\text{d}A=\frac{4}{3}R\frac{\sin^{3}\alpha}{2\,\alpha-\sin\,2\,\alpha}.\end{aligned}$$

Resultat:

$$\displaystyle\tau(\alpha)=\frac{4}{3}\frac{Q(x)\cdot\sin^{2}\alpha}{\pi\,R^{2}}.$$

5.13

••• Gegeben ist das skizzierte dünnwandige Hohlprofil (Radius R, Wandstärke t, $t\ll R$).

• 1. Berechnen Sie die durch eine Querkraft hervorgerufene Schubspannungsverteilung.

• 2. Berechnen Sie die Lage des Schubmittelpunktes.

Hinweis:

Es ist einfacher, die Lage des Schubmittelpunktes als Abstand zum Kreismittelpunkt zu berechnen, da für den Kreismittelpunkt $r^{*}=R=\text{konstant}$ ist.

Resultat:

• 1.
  $$\displaystyle\tau(\varphi)=\frac{2\,Q(x)}{\pi\,R\,t}\,\sin\varphi.$$
• 2.
  $$\displaystyle y_{\text{M bzgl. Kreismittelpunkt}}=\frac{4\,R}{\pi}.$$

5.14

• Eine zylindrische Vollwelle des Durchmessers D soll mit einem Bohrungsdurchmesser von $D/2$ hohl gebohrt werden.

• 1. Um wie viele Prozent verringert sich das Wellengewicht?

• 2. Um wie viele Prozent erhöhen sich die Torsionsspannungen?

• 3. Um wie viele Prozent erhöht sich der Verdrehwinkel?

Resultat: 1: $25\%$, 2 und 3: $7\%$.

5.15

• Bei gewöhnlichen Garagentoren sorgen zwei bei geschlossenem Tor gespannte Zugfedern dafür, dass sich die Tore trotz hohen Gewichts mit vergleichsweise wenig Kraft öffnen und schließen lassen.

Es bestehe nun die Schraubenfeder eines Garagentors aus 7 mm starkem Stahldraht ($G=80.000\,\text{MPa}$), der in 67 Windungen mit einem mittleren Windungsdurchmesser von $D=52\,\text{mm}$ gewickelt ist. Bei geschlossenem Garagentor verlängern sich die Federn von im entspannten Zustand 500 mm auf 800 mm. Berechnen Sie die Federkonstante c, die Federkraft F bei geschlossenem Tor und die in der Feder bei geschlossenem Tor herrschenden Torsionsspannungen.

Resultat: $c=2{,}5\,\text{N}/\text{mm}$, $F=765\,\text{N}$, $\tau=295\,\text{MPa}$.

5.16

• Eine Hohlwelle soll wie in der folgenden Abbildung links skizziert aus zwei miteinander verschweißten Halbkreisprofilen (Außendurchmesser 80 mm, Wandstärke 4 mm) hergestellt werden, um ein Torsionsmoment $M_{\text{T}}$ zu übertragen. Berechnen Sie, um welchen Faktor sich die Torsionsspannungen und der Verdrehwinkel erhöhen, falls eine der beiden Schweißnähte fehlerhafter Weise nicht gelegt wird (Abbildung rechts).

Resultat:τ erhöht sich um den Faktor 27, $\vartheta$ um den Faktor 272.

5.17

•• Eine konische Welle (Länge l, Radien an den Enden $2\,R$ und R) soll ein Torsionsmoment $M_{\text{T}}$ übertragen. Berechnen Sie den Verdrehwinkel $\vartheta$.

Hinweis:

Kann die einfache Formel zur Berechnung des Verdrehwinkels verwendet werden, wenn der Wellendurchmesser veränderlich ist?

Resultat:

$$\displaystyle\vartheta=\frac{7}{12}\frac{M_{\text{T}}\,l}{\pi\,G\,R^{4}}.$$

5.18

• Die Eingangswelle eines einstufigen Getriebes (Teilkreisdurchmesser Zahnrad 1: 60 mm, Teilkreisdurchmesser Zahnrad 2: 180 mm) überträgt das Drehmoment $M_{\text{T,ein}}=100\,\text{N\,m}$.

• 1. Berechnen Sie das Drehmoment $M_{\text{T,aus}}$ in der Ausgangswelle des Getriebes.

• 2. Berechnen Sie die Torsionsspannungen in Ein- und Ausgangswelle.

Hinweis:

Zu 1: Die Zahnkräfte sind an beiden Zahnrädern gleich groß.

Resultat:

• 1. $M_{\text{T,aus}}=300\,\text{Nm}$.

• 2. $\tau_{\text{ein}}=64\,\text{MPa},\ \tau_{\text{aus}}=57\,\text{MPa}$.

5.19

•• Eine Stab mit der Länge l und dem Gewicht G sei unten (Punkt A) sowie auf der Position $z=b\cdot l$ (mit  < b< 1, Punkt B) jeweils vertikal abgestützt. Berechnen Sie die Lagerreaktionen.

Resultat: $A_{z}=G\left(2-b\right)$, $B_{z}=\frac{G}{2}\left(b-2\right)$.

5.20

• Ein Träger der Länge l sei an beiden Seiten fest eingespannt. Im Punkt C (im Abstand von $cl,0\,<\,c\,<\,1$ vom linken Trägerende) wird er durch das Torsionsmoment $M_{\text{T}}$ belastet. Berechnen Sie die Lagerreaktionen.

Resultat: $M_{\text{TA}}=-M_{\text{T}}\left(1-c\right)$, $M_{\text{TB}}=-M_{\text{T}}\cdot c$.

5.21

• Der abgebildete Träger der Länge l ist im Punkt A durch ein Loslager und im Punkt B durch eine feste Einspannung gelagert. Er wird durch eine dreieckförmige Streckenlast belastet. Berechnen Sie die Lagerreaktionen.

Resultat: $A_{y}=\frac{1}{10}q_{\text{max}}l$, $B_{y}=\frac{2}{5}q_{\text{max}}l$, $M_{\text{B}}=-\frac{1}{15}q_{\text{max}}l^{2}$.

5.22

• Ein zylindrischer Druckbehälter des Durchmessers 2 m mit halbkugelförmigen Stirnseiten soll einen Innendruck von 30 bar aufnehmen. Welche Wandstärken sind

• 1. für den (mittleren) zylindrischen Teil des Druckbehälters und

• 2. für die halbkugelförmigen Stirnseiten

erforderlich, wenn die größte Hauptspannung jeweils den zulässigen Wert $\sigma_{\text{zul}}=200\,\text{MPa}$ nicht überschreiten darf?

Resultat:

• 1. 15 mm.

• 2. 7,5 mm.

5.23

•• In einem in 10.000 m Höhe fliegenden Flugzeug herrscht bei einem Umgebungsdruck von 260 hPa ein Kabinendruck von 750 hPa. Der Rumpf des Flugzeugs lässt sich – ein wenig vereinfacht – als dünnwandiger zylindrischer Druckbehälter auffassen.

Berechnen Sie

• 1. die Spannungen im Flugzeugrumpf sowie

• 2. die durch den Druckunterschied hervorgerufene Verformung des Flugzeugrumpfes.

Zahlenwerte: Rumpflänge $l=40\,\text{m}$, Rumpfdurchmesser $D=4\,\text{m}$, Wandstärke $t=1{,}6\,\text{mm}$, Material Aluminium($E=70.000\,\text{MPa}$, $\nu=0{,}3$).

Hinweis:

Welche Dehnungskomponente beschreibt die relative Durchmesseränderung?

Resultat:

• 1. $\sigma_{\varphi}=61\,\text{MPa},\ \sigma_{l}=31\,\text{MPa}$.

• 2. $\Updelta l=7\,\text{mm},\ \Updelta D=3\,\text{mm}$.

5.24

• Eine zylindrische Vollwelle des Radius $R=10\,\text{mm}$ wird an beiden Enden durch eine im Abstand $R/2$ zur Mittellinie angreifende Kraft $F=20\,\text{kN}$ belastet. Die zulässige Spannung des Wellenwerkstoffs betrage $\sigma_{\text{zul}}=200\,\text{MPa}$.

• 1. Welche Spannungen herrschen in der Welle?

• 2. Liegt die Beanspruchung der Welle im zulässigen Bereich?

Hinweis:

Wie sind die Spannungen zu überlagern?

Resultat:

• 1. $\sigma_{\text{Zug}}=64\,\text{MPa}$, $\sigma_{\text{Biegung}}=127\,\text{MPa}$.

• 2. $\sigma_{\text{gesamt}}=191\,\text{MPa}$, also zulässig.

5.25

•• Eine in den Punkten A und B gelagerte Getriebewelle trägt ein geradverzahntes Zahnrad des Teilkreisradius 100 mm, an dem die Kräfte $F_{\text{r}}=440\,\text{N}$ (Radialkraft) und $F_{\text{t}}=1200\,\text{N}$ (Tangentialkraft) angreifen. Der Radius der Getriebewelle betrage 20 mm.

Zu untersuchen sind die Spannungen in der Welle auf Höhe des Lagers A. Schubspannungen durch Querkraft dürfen dabei vernachlässigt werden. Gehen Sie wie folgt vor:

• 1. Bestimmen Sie die Schnittgrößen auf Höhe des Lagers A.

• 2. Bestimmen Sie die maximale Biege- und Torsionsspannung auf Höhe des Lagers A.

• 3. Bestimmen Sie die Vergleichsspannungen nach der N-, S- und GE-Hypothese.

Hinweis:

Das resultierende Biegemoment wird gemäß $M_{\text{ges}}=\sqrt{M_{y}^{2}+M_{z}^{2}}$ aus den Biegemomenten um die y- und z-Achse gebildet.

Resultat:

• 1. $M_{y}=66\,\text{N\,m}$ (für Biegung um die y-Achse),

  $M_{z}=180\,\text{N\,m}$ (für Biegung um die z-Achse),

  $M_{\text{ges}}=192\,\text{N\,m}$ (resultierendes Biegemoment),

  $M_{\text{T}}=12\,\text{N\,m}$ (Torsionsmoment).

• 2. Biegespannung $\sigma=30{,}6\,\text{MPa}$,

  Torsionsspannung $\tau=9{,}5\,\text{MPa}$.

• 3. N-Hypothese: $\sigma_{\text{V}}=33\,\text{MPa}$,

  S-Hypothese: $\sigma_{\text{V}}=36\,\text{MPa}$,

  GE-Hypothese: $\sigma_{\text{V}}=35\,\text{MPa}$.

5.26

• Wie dem passionierten Weintrinker bekannt ist, lässt sich eine Weinflasche mit einem gewöhnlichen Korkenzieher einfacher entkorken, wenn der Korken beim Herausziehen etwas gedreht wird. Der Korkenzieher wird dann durch die den Korken herausziehende Kraft $F_{\text{ax}}$ und die beiden den Korken drehenden Kräfte $F_{\text{T}}$ belastet.

Für $F_{\text{ax}}=100\,\text{N}$, $F_{\text{T}}=7\,\text{N}$, $d=3\,\text{mm}$ (Schaftdurchmesser) und $l=30\,\text{mm}$ (Hebelarm der Verdrehkräfte) ist die Beanspruchung im Schaft des Korkenziehers zu ermitteln.

• 1. Bestimmen Sie die Schnittgrößen im Korkenzieherschaft.

• 2. Bestimmen Sie die an einem beliebigen Punkt an der Oberfläche des Korkenzieherschaftes herrschenden Spannungen.

• 3. Berechnen Sie die Vergleichsspannungen in diesem Punkt nach der N-, S- und GE-Hypothese.

Resultat:

• 1. $N=100\,\text{N}$, $|M_{\text{T}}|=420\,\text{Nmm}$.

• 2. $\sigma=14\,\text{MPa}$, $\tau=79\,\text{MPa}$.

• 3. N-Hypothese: $\sigma_{\text{V}}=86\,\text{MPa}$,

  S-Hypothese: $\sigma_{\text{V}}=159\,\text{MPa}$,

  GE-Hypothese: $\sigma_{\text{V}}=138\,\text{MPa}$.

5.27

•• Auf einem 1 m hohen Pfosten ist eine quadratische, $400\,\text{mm}\times 400\,\text{mm}$ große Platte befestigt. An der Platte greifen die Kräfte $F_{1}=2700\,\text{N}$ und $F_{2}=800\,\text{N}$ an. Der Pfosten bestehe aus einem kreisförmigen Rohr des Außendurchmessers $D_{\text{a}}=80\,\text{mm}$ und des Innendurchmessers $D_{\text{i}}=70\,\text{mm}$.

• 1. Berechnen Sie den Verlauf der Schnittgrößen $N(s)$, $Q(s)$, $M(s)$ und $M_{\text{T}}(s)$ im Pfosten.

• 2. Berechnen Sie die im Punkt A an der Einspannung des Pfostens herrschenden Spannungskomponenten. Der durch Querkraft erzeugte Schub ist dabei vernachlässigbar.

• 3. Wie groß sind die im Punkt A herrschenden Vergleichsspannungen nach der N-, S- und GE-Hypothese?

Resultat:

• 1. $N(s)=-2700\,\text{N}$, $Q(s)=800\,\text{N}$,$M(s)=1{,}34\cdot 10^{6}\,\text{N\,mm}-800\,\text{N}\cdot s$,$M_{\text{T}}(s)=160.000\,\text{N\,mm}$.

• 2. Zug- /Druckspannung: $\sigma=-2{,}3\,\text{MPa}$,

  Biegespannung: $\sigma=-64{,}4\,\text{MPa}$,

  Torsionsspannung: $\tau=3{,}8\,\text{MPa}$.

• 3. N-Hypothese: $\sigma_{\text{V}}=0{,}2\,\text{MPa}$,

  S-Hypothese: $\sigma_{\text{V}}=67{,}1\,\text{MPa}$,

  GE-Hypothese: $\sigma_{\text{V}}=67{,}0\,\text{MPa}$.