Begriffe und Modelle – Dynamische Systeme beschreiben

Kapitelvorwort

Was gilt es zu regeln und warum?

Woraus besteht ein Regelkreis und wie modelliert man ihn?

Die Regelungstechnik – und allgemeiner die Automatisierungstechnik – beschäftigt sich mit der gezielten Beeinflussung des Verhaltens von (technischen) Systemen. Die physikalischen Größen, deren Verhalten betrachtet wird, haben Zeitverläufe und werden auch als Signale bezeichnet. Das betrachtete System ist dadurch gekennzeichnet, dass es gegenüber dem Rest der Welt abgegrenzt ist und mit der Umgebung über Ein- und Ausgangsgrößen in Beziehung steht: Eingangssignale wirken von außen auf das System ein, und durch Ausgangssignale wirkt das System auf die Umgebung (Abb.38.1).

Wir stellen uns die Aufgabe, die Eingangssignale, wenn möglich, so zu wählen, dass die Ausgangssignale gewünschtes Verhalten aufweisen. Der Entwurf von Einrichtungen, die derart geeignete Eingangssignale automatisch generieren, ist ein Hauptziel unserer weiteren Überlegungen.

Diese recht allgemein formulierte Aufgabenstellung wollen wir im Folgenden veranschaulichen und präzisieren sowie die Begriffe Steuerung und Regelung gegeneinander abgrenzen. Sodann werden wir auf geeignete Systemmodelle näher eingehen. Die weiteren Kapitel zur Regelungstechnik sind der Analyse dynamischer Systeme gewidmet (Kap. 39) sowie den wichtigsten Regelungsentwurfsverfahren (Kap. 40 und 41).

Appendices

Antworten zu den Verständnisfragen

Antwort 38.1

Ausgangsgröße ist – gemäß der in der Beschreibung des Windkanals durchgeführten Abgrenzung – der Winkel y der angeströmten Platte (Alternativ kann man auch die Strömungsgeschwindigkeit als Ausgangsgröße definieren und die angeströmte Platte als eine Messeinrichtung mit der Messgröße y betrachten.). Führungsgröße ist der Sollwert des Winkels y (bzw. der Sollwert der Strömungsgeschwindigkeit). Stellgröße ist die Motorspannung $u_{\text{M}}$. Wird sie, wie in Abb. 38.5, durch einen Verstärker erzeugt, so kann man diesen auch der Strecke zuschlagen und die Steuerspannung u als Stellgröße auffassen. Mögliche Störungen sind (bewegte) Gegenstände im Luftstrom, veränderliche Lagerreibung der Platte, Fehlerspannung am Motor und weitere.

Antwort 38.2

Eine Regelung beinhaltet die Messung und Rückführung der Regelgrößen und erlaubt damit eine Reaktion auf im Modell nicht berücksichtigte Effekte, wie sie aus ungenau bestimmten Parametern oder externen Störungen resultieren.

a) Bohren mit der Bohrmaschine: Die Drehzahl sinkt beim Eintreten ins Material, reicht aber eventuell zum Bohren aus. Heben einer Last mit einem Kran: Ist die Last schwerer als erwartet, wird sie langsamer hochgegezogen.

b) Längs- und Querregelung beim Führen eines Autos: Die Abstände zum Vordermann („längs“) und zum Straßenrand („quer“) werden vom Fahrer oder einem Assistenzsystem laufend erfasst, mit Sollwerten verglichen, und es wird nötigenfalls über die Stelleingriffe Gas und Bremse bzw. Lenkrad korrigierend eingegriffen. Eine rein gesteuerte Blindfahrt wäre nur auf einem freien und sehr genau bekannten Parkour denkbar. Auch beim Einstellen der Wassertemperatur unter der Dusche fungiert der Mensch als Regler: Die empfundene Temperatur wird mit dem Wunsch verglichen, und durch Verstellen des Wasserhahns (Stellglied) wird korrigierend eingegriffen.

Antwort 38.3

Ja, denn die rechte Seite der Zustandsdifferenzialgleichung (38.7) ist eine Linearkombination der Zustandsvariable x und der Eingangsgröße u _w . Man erhält:

$$\displaystyle\dot{x}(t)=\underbrace{-k_{\text{M}}k_{\text{V}}}_{\vec{A}}x(t)+\underbrace{k_{\text{M}}k_{\text{V}}}_{\vec{b}}u_{w}$$

(ein Störeingriff $\boldsymbol{e}z$ ist nicht vorhanden). Sieht man die Regelgröße x als Ausgangsgröße an, so kommt

$$\displaystyle y=\underbrace{1}_{\vec{c}^{\text{T}}}x$$

hinzu. $\vec{A}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}^{\text{T}}$ sind hier Skalare, da die Systemordnung n = 1 ist.

Antwort 38.4

Für die Spannungen an den beiden Bauelementen gilt $U_{\text{R}}=RI$, $\dot{U}_{\text{C}}=\frac{1}{C}I$ bzw. $I=C\dot{U}_{\text{C}}$. Die Kirchhoff’sche Maschengleichung lautet dann:

$$\displaystyle U_{\text{in}}=U_{\text{R}}+U_{\text{C}}=RI+U_{\text{C}}=RC\dot{U}_{\text{C}}+U_{\text{C}}.$$

Wegen $U_{\text{C}}=U_{\text{out}}$ resultiert also eine Differenzialgleichung vom PT1-Typ:

$$\displaystyle RC\dot{U}_{\text{out}}+U_{\text{out}}=U_{\text{in}}.$$

Antwort 38.5

a)

$$\begin{aligned}\Psi(c_{1}u_{1}(t)+c_{2}u_{2}(t))&=\int \left[c_{1}u_{1}(\tau)+c_{2}u_{2}(\tau)\right]\,d\tau\\ &=c_{1}\int u_{1}(\tau)\,d\tau+c_{2}\int u_{2}(\tau)\,d\tau\\ &=c_{1}\Psi(u_{1})+c_{2}\Psi(u_{2}).\end{aligned}$$

b)

$$\begin{aligned}\Psi(c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2})&=K\left[c_{1}u_{1}(t-T_{t})+c_{2}u_{2}(t-T_{t})\right]\\ &=c_{1}Ku_{1}(t-T_{t})+c_{2}Ku_{2}(t-T_{t})\\ &=c_{1}\Psi(u_{1})+c_{2}\Psi(u_{2}).\end{aligned}$$

Aufgaben

Im Folgenden finden Sie Aufgaben zu dem im Kapitel besprochenen Thema. Wenn es sich um Rechenaufgaben handelt, ist der Schwierigkeitsgrad angegeben (• leicht, •• mittel, ••• schwer), und eine Ergebniszeile zeigt das zu erwartende Ergebnis.

Die Lösungen zu allen Aufgaben finden Sie auf der Internetseite des Buches.

38.1

•  Zeichnen Sie das Blockschaltbild einer Zwei-Freiheitsgrade-Regelung. Erläutern Sie, welchem Zweck die Steuerungseinrichtung dient und welchem Zweck der Regler.

Hinweis:

Blättern Sie zum ersten Abschnitt dieses Kapitels zurück.

Resultat: Das Blockschaltbild ist in Abb. 38.8 zu sehen. Bei der Zwei-Freiheitsgrade-Regelung überlagern sich die Ausgangssignale des Reglers und der Steuereinrichtung additiv zur Stellgröße u.

Regler: Der Regler erzeugt aus der Regelabweichung e (Führungsgröße w $-$ Regelgröße y) einen Korrekturwert für die Stellgröße, mit dem Ziel, den Einfluss von Störungen z auf die Regelgröße y zu mindern.

Steuereinrichtung: Sie erzeugt aus der Führungsgröße w einen Stellgrößenanteil derart, dass y der Führungsgröße w (auch ohne Zutun des Reglers) möglichst gut folgt.

38.2

••  Die Differenzialgleichung

$$-\sin y(t)=-\dot{y}(t)+3u_{1}(t)$$

soll als Blockschaltbild dargestellt werden. Bilden Sie dazu den Zusammenhang zwischen der Ausgangsgröße $y(t)$ und der Eingangsgröße $u(t)$ mithilfe der Elementarglieder nach Abb. 38.23 ab, allerdings ohne ein Differenzier-Glied zu verwenden.

Hinweis:

Wenn eine Differenzialgleichung ein reales (technisches) System beschreibt, so sind die Variablen und Konstanten mit physikalischen Einheiten behaftet. Gelegentlich werden diese Einheiten weggelassen, um die Darstellung übersichtlich zu halten, oder wenn – wie hier und in der nächsten Aufgabe – reine Zahlenbeispiele ohne physikalischen Hintergrund betrachtet werden.

Resultat:

38.3

••  Ein Kennlinienglied sei beschrieben durch $y(t)=3\sqrt{u(t)}$, und es sei bekannt, dass das Eingangssignal $u(t)$ von seinem Arbeitspunktwert $u^{*}=4$ im Betrieb nur wenig abweicht. Approximieren Sie das Kennlinienglied durch ein P-Glied, indem Sie eine Linearisierung im Arbeitspunkt durchführen.

Hinweis:

Sie können sich dabei am Kasten Linearisierung im Arbeitspunkt in Abschnitt 1.4 orientieren.

Resultat:

$$\Updelta y\approx\frac{3}{4}\Updelta u.$$

38.4

••  Stellen Sie die Differenzialgleichung für das mathematische Pendel (d. h. mit masselos angenommenem Stab) in der Abbildung auf. Eingangsgröße sei die Kraft $F_{\text{in}}$, Ausgang der Winkel $\varphi$. $M_{\text{R}}=-d\dot{\varphi}$ ist das viskose Reibmoment. Bestimmen Sie zunächst alle angreifenden Drehmomente. Linearisieren Sie anschließend das Modell um die Ruhelage $\varphi=0$, indem sie die Kleinwinkelnäherung auf die trigonometrischen Ausdrücke anwenden. Geben Sie schließlich die Kenngrößen des daraus resultierenden PT2-Gliedes an.

Mathematisches Pendel

Hinweis:

Drehimpulssatz: $J\ddot{\varphi}=\sum M_{i}$.

Resultat: Zur Bewegungsdifferenzialgleichung:

Trägheitsmoment des Pendels: $J=ml^{2}$,

Tangentiale Kraft $F_{\text{t}}$ an der Masse: $F_{\text{t}}=mg\sin\varphi$,

Rückstellmoment: $M_{\text{g}}=-mg\sin(\varphi)l$,

Dämpfmoment: $M_{\text{R}}=-d_{\text{R}}\dot{\varphi}$,

Stellmoment: $M_{\text{in}}=lF_{\text{in}}$.

Daraus folgt mithilfe des Drehimpulssatzes:

$$ml^{2}\ddot{\varphi}=-mgl\sin\varphi-d_{\text{R}}\dot{\varphi}+lF_{\text{in}}.$$

Linearisierung:

$$ml^{2}\Updelta\ddot{\varphi}+mgl\Updelta\varphi+d_{R}\dot{\Updelta\varphi}=l\Updelta F_{\text{in}}.$$

Kenngrößen des PT2-Gliedes: Durch Vergleich mit dem allgemeinen PT2-Glied liest man ab:

$$\begin{aligned}T^{2}&=\frac{l}{g},\quad 2dT=\frac{d_{\text{R}}}{mgl},\quad\text{also}\\ \quad d&=\frac{d_{\text{R}}}{2ml\sqrt{gl}}\quad\text{und}\quad K=\frac{1}{mg}.\end{aligned}$$

38.5

•••  Gegeben sei ein kegelförmiger Tank, der von oben mit Flüssigkeit befüllt werden kann und aus dem die Flüssigkeit unten (aus der Kegelspitze) durch eine kleine Öffnung mit Querschnittsfläche a aufgrund der Schwerkraft abfließt. Der Flüssigkeitsvolumenzufluss $q_{\text{e}}$ fungiere als Eingangsgröße und der Volumenabfluss $q_{\text{a}}$ als Ausgangsgröße. Die Abbildung zeigt den Flüssigkeitsanteil im kegelförmigen Gefäß. Dabei sind $h(t)$ die aktuelle Füllhöhe und A die zugehörige kreisförmige Flüssigkeitsoberfläche mit Radius r. Ermitteln Sie für das System ein mathematisches Modell in Zustandsdarstellung. Zeichnen Sie dann das Blockschaltbild zu dem ermittelten mathematischen Modell.

Flüssigkeit im kegelförmigen Tank

Hinweis:

Für den Volumenabfluss kann angenommen werden $q_{\text{a}}(t)=a\sqrt{2gh(t)}$,

mit a: Abflussquerschnittsfläche

und g: Erdbeschleunigung.

Für das Kegelvolumen gilt allgemein $V=\frac{1}{3}Ah$. Tipp: Drücken Sie V allein durch h und $\varphi$ aus und betrachten Sie $\dot{V}$.

Resultat:

$$\begin{aligned}\dot{h}&=\frac{1}{\pi\tan^{2}(\varphi)h^{2}}(q_{\text{e}}-a\sqrt{2gh})\quad\text{Zustands-DGL}\\ q_{\text{a}}&=a\sqrt{2gh}\quad\text{Ausgangsgleichung}\end{aligned}$$

Blockschaltbild des Tanksystems

38.6

•  Stellen Sie die Differenzialgleichung für das RLC-Glied in der Abbildung auf.

Hinweis:

Orientieren Sie sich am Vorgehen, das wir beim RC-Filter nach Abb. 38.27 praktiziert haben.

Resultat: $LC\ddot{U}_{\text{out}}+RC\dot{U}_{\text{out}}+U_{\text{out}}=U_{\text{in}}$.

38.7

••  Leiten Sie aus der Differenzialgleichung des RLC-Glieds in der Abbildung erstens eine Zustandsdarstellung in Regelungsnormalform ab sowie zweitens eine Zustandsdarstellung, bei der Sie als Zustandsvariablen $U_{\text{C}}$ und I wählen.

RLC-Glied: Filter 2. Ordnung

Hinweis:

Bezüglich der Regelungsnormalform können Sie sich am Rechenweg von (38.40) zu (38.41), (38.42) oder am Ergebnis (38.66), (38.67) orientieren.

Resultat: Zustandsdarstellung in Regelungsnormalform nach (38.44), (38.45):

$$\begin{aligned}\dot{x}_{1}&=x_{2},\\ \dot{x}_{2}&=-\frac{1}{LC}x_{1}-\frac{R}{L}x_{2}+\frac{1}{LC}U_{\text{in}},\\ U_{\text{out}}&=x_{1}\end{aligned}$$

bzw. in der Darstellung nach (38.66), (38.67):

$$\begin{aligned}\dot{x}_{1}&=x_{2},\\ \dot{x}_{2}&=-\frac{1}{LC}x_{1}-\frac{R}{L}x_{2}+U_{\text{in}},\\ U_{\text{out}}&=\frac{1}{LC}x_{1}.\end{aligned}$$

Beide Darstellungen sind äquivalent (Der Faktor $1/LC$ wird beim Übergang von der ersten zur zweiten Variante vom Eingang an den Ausgang „verschoben“). Die Zustandsdarstellung mit den Zustandsvariablen U _C und I lautet:

$$\begin{aligned}\dot{U}_{\text{C}}&=\frac{1}{C}I,\\ \dot{I}&=-\frac{1}{L}U_{\text{C}}-\frac{R}{L}I+\frac{1}{L}U_{\text{in}},\\ U_{\text{out}}&=U_{\text{C}}.\end{aligned}$$

Die drei Zustandsdarstellungen unterscheiden sich in der physikalischen Bedeutung der Zustandsvariablen, sie beschreiben aber dasselbe Ein-/Ausgangsverhalten des betrachteten Übertragungsgliedes.

38.8

••  Geben Sie die Zustandsdarstellung des elastischen Lagers nach Abbildung 38.30 mit dem Eingang $F_{\text{P}}$ und der von der Feder und dem Dämpfer in der Summe an den Boden übertragenen Kraft $F_{\text{B}}$ als Ausgang an. Wählen Sie als Zustandsvariablen die Auslenkung x und die zugehörige Geschwindigkeit $\dot{x}$.

Hinweis:

Nutzen Sie das Ergebnis nach (38.34).

Resultat:

$$\dot{x}_{1} =x_{2},$$

(38.81)

$$\dot{x}_{2} =-\frac{C}{m}x_{1}-\frac{D}{m}x_{2}+\frac{1}{m}F_{\text{P}},$$

(38.82)

$$F_{\text{B}} =Cx_{1}+Dx_{2}.$$

(38.83)

38.9

•••  Um das Federungsverhaltens eines Pkw zu untersuchen, soll ein einzelnes Federbein (Abbildung) im Zusammenwirken mit einem Viertel der Fahrzeugmasse als Zustandsraummodell dargestellt werden.

In der zweiten Abbildung sind die wesentlichen Elemente schematisch dargestellt: Das (unebene) Straßenprofil $z_{\text{S}}(t)$ wirkt über die Reifensteifigkeit $c_{\text{R}}$ und die Reifendämpfung $d_{\text{R}}$ beschleunigend auf das Rad der Masse $m_{\text{R}}$. Dessen Bewegungen ihrerseits wirken über $c_{\text{A}}$ und $d_{\text{A}}$ beschleunigend auf die (Viertel-)Aufbaumasse $m_{\text{A}}$. Geben Sie ein Zustandsraummodell an, wobei Sie als Zustandsvariablen wählen

$$\begin{aligned}x_{1}&=x_{\text{A}}-x_{\text{R}},\,\,\text{ Einfederung,}\\ x_{2}&=\dot{x}_{\text{A}},\,\,\,\,\text{ Aufbaugeschwindigkeit,}\\ x_{3}&=x_{\text{R}}-z_{\text{S}},\text{ Reifenauslenkung,}\\ x_{4}&=\dot{x}_{\text{R}},\,\,\,\,\text{ Radgeschwindigkeit.}\end{aligned}$$

Da bei diesem System das Verhalten mehrerer Variablen von Interesse ist, wählen Sie als Ausgangsgrößen:

$$\begin{aligned}y_{1}&=\ddot{x}_{\text{A}},\text{ Aufbaubeschleunigung,}\\ y_{2}&=F_{\text{dyn}},\text{ dynamische Radlast,}\\ y_{3}&=x_{\text{A}}-x_{\text{R}},\text{ Einfederung.}\end{aligned}$$

Das Modell erhält also eine vektorielle Ausgangsgröße $\vec{y}$ und folglich eine Ausgangsgleichung der Gestalt $\vec{y}=\vec{Cx}+\vec{d}u$. Die dynamische Radlast bezeichnet dabei die Kraft, die von der Straße auf das Rad wirkt, also die Summe der Feder- und Dämpferkräfte des Reifens.

KFZ-Federbein

Ersatzmodell zum Federbein

Hinweis:

Betrachten Sie nur Abweichungen aus der (nicht weiter interessierenden) Ruhelage; die Federn seien also entspannt für $x_{\text{A}}-x_{\text{R}}=0$ bzw. $x_{\text{R}}-z_{\text{S}}=0$. Mit der vorgeschlagenen Wahl der Zustandsgrößen ergibt sich als einzige Eingangsgröße des Systems die Störgröße Straßenprofilgeschwindigkeit $\dot{z}_{\text{S}}=z$, und die Zustandsdifferenzialgleichung hat die Gestalt $\dot{\vec{x}}=\vec{Ax}+\vec{e}z$ (vergleiche 38.23).

Resultat: Mit den Bilanzgleichungen

$$\begin{aligned}m_{\text{A}}\ddot{x}_{\text{A}}&=-c_{\text{A}}(x_{\text{A}}-x_{\text{R}})-d_{\text{A}}(\dot{x}_{\text{A}}-\dot{x}_{\text{R}}),\\ m_{\text{R}}\ddot{x}_{\text{R}}&=c_{\text{A}}(x_{\text{A}}-x_{\text{R}})+d_{\text{A}}(\dot{x}_{\text{A}}-\dot{x}_{\text{R}})\\ &\quad-c_{\text{R}}(x_{\text{R}}-z_{\text{S}})-d_{\text{R}}(\dot{x}_{\text{R}}-\dot{z}_{\text{S}})\end{aligned}$$

und der Definition der vier Zustandsvariablen folgt sofort:

$$\begin{aligned}\begin{pmatrix}\dot{x}_{\text{A}}-\dot{x}_{\text{R}}\\ \ddot{x}_{\text{A}}\\ \dot{x}_{\text{R}}-\dot{z}_{\text{S}}\\ \ddot{x}_{\text{R}}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}0&1&0&-1\\ \frac{-c_{\text{A}}}{m_{\text{A}}}&\frac{-d_{\text{A}}}{m_{\text{A}}}&0&\frac{d_{\text{A}}}{m_{\text{A}}}\\ 0&0&0&1\\ \frac{c_{\text{A}}}{m_{\text{R}}}&\frac{d_{\text{A}}}{m_{\text{R}}}&\frac{-c_{\text{R}}}{m_{\text{R}}}&\frac{-d_{\text{A}}-d_{\text{R}}}{m_{\text{R}}}\end{pmatrix}{}\underbrace{\begin{pmatrix}x_{\text{A}}-x_{\text{R}}\\ \dot{x}_{\text{A}}\\ x_{\text{R}}-z_{\text{S}}\\ \dot{x}_{\text{R}}\end{pmatrix}}_{\vec{x}}\\ &+\begin{pmatrix}0\\ 0\\ -1\\ \frac{d_{\text{R}}}{m_{\text{R}}}\end{pmatrix}\dot{z}_{\text{S}},\\ \begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\frac{-c_{\text{A}}}{m_{\text{A}}}&\frac{-d_{\text{A}}}{m_{\text{A}}}&0&\frac{d_{\text{A}}}{m_{\text{A}}}\\ 0&0&-c_{\text{R}}&-d_{\text{R}}\\ 1&0&0&0\end{pmatrix}\vec{x}+\begin{pmatrix}0\\ d_{\text{R}}\\ 0\end{pmatrix}\dot{z}_{\text{S}}.\end{aligned}$$