Einfache und algebraische Körpererweiterungen

Auszug

Die einfachste Körpererweiterung L/K ist die einfache Körpererweiterung K(a)/K, also der Fall L = K(a) für ein a ∈ L. Tatsächlich ist dieser Fall schon sehr allgemein, da sich für L = K(a₁,..., a_n) mit über K algebraischen Elementen (a₁,..., a _n ) oft ein Element a ∈ L bestimmen lässt, sodass K(a₁,..., a_n) = K(a) gilt (man vgl. etwa Aufgabe 19.11). Insofern ist es wichtig, die Struktur der einfachen Körpererweiterungen K(a)/K aufzuklären. Das ist nach L. Kronecker und H. Weber mit dem Polynomring K[X] möglich. Das Ergebnis ist denkbar einfach: Ist a transzendent über K, so gilt K(a)≅K(X), ist a algebraisch über K, so gilt K(a)≅K[X]/(m _{a, K} ).